第五讲-正态分布专题讲义-2023届高三数学一轮复习

一对一教材·高二数学 第五讲 正态分布 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1. .若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P －p p 则E(ξ)的最大值为 ( )． A．1 B. C. D．2 2.已知随机变量X的分布列，求： X －2 －1 0 1 2 P m (1)；(2)若，求． 【知识点一：正态曲线】 一、正态曲线定义 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 二、正态曲线的性质 （1）曲线在轴的上方，与轴不相交 （2）曲线关于直线对称 （3）当时，曲线带到峰值 （4）曲线与轴之间的面积为1 （5）当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移.当时，曲线上升（增函数）；当时，曲线下降（减函数）.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近. （6）当一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中： 【典型例题】 例1. 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． π (1)·σ (1)π (1)π (1)4 ((x－20)2π (1)例2.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 练1.如图是正态分布，（）相应的曲线，那么的大小关系是( ) A． B． C． D． 练2. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示，则有 （Ａ） （Ｂ） （C） （Ｄ） 【知识点二：正态分布】 一、正态分布定义 一般地，如果对于任何实数，随机变量满足 则称的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为. 二、原则 对于正态总体取值的概率： 在区间 内取值的概率分别为68.26%、95.44%、99.74%因此我们时常只在区间内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则。 【典型例题】 例1．已知随机变量 ξ 服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ < 4）= 0.8，则P（0 < ξ < 2）= A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 练1.已知随机变量X服从正态分布，且，则实数a的值为 （A）1 （B） （C）2 （D）4 练2．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c＝________. 2 (c＋1＋c－1) 例2. 若X～N(5,1)，求P(5<X<7)． 2 (1)2 (1)练1.设X~N（50，100），求P（60<X<70）. 练2.在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率． 2 (1) 例3. 在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从正态分布N（90，100）. （1）试求考试成绩 ξ 位于区间（70，110）内的概率； （2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）内的考生大约有多少人. 练1.据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数． 解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质 练2．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(3