2023年中考数学高频考点专题复习-二次函数的最值问题

2023年中考数学高频考点专题复习-二次函数的最值问题 1．在平面直角坐标系中，抛物线．分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m． ①当时，若图形G为轴对称图形，求m的值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（-2，0）三点． （1）求二次函数的表达式； （2）在x轴上有一点D（-4，0），将二次函数的图象沿射线DA方向平移，使图象再次经过点B． ①求平移后图象顶点E的坐标； ②直接写出此二次函数的图象在A，B两点之间（含A，B两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积． 3．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是________； (3)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 5．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点． （1）请求出a，k，b的值； （2）当点P在直线AB上方时，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，设点P的横坐标为m，PC的长度为L，求出L关于m的解析式； （3）在（2）的基础上，设△PAB面积为S，求出S关于m的解析式，并求出当m取何值时，S取最大值，最大值是多少？ 6．已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2． (1)若a＝1，x1＝1，x2＝4，求二次函数顶点坐标； (2)若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），求m+n的值； (3)在（1）的条件下，将抛物线向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增加而减小的部分为P，若P和直线y＝x﹣n有交点，求n2﹣5n的最小值． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值； （3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 8．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③．其中函数______是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的取值范围． 9．概念认识：城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 数学理解 (1)①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　 　； ②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图1所示，B是图象上一点，d（O，B），则点B的坐标是 　 　． (2)函数y＝（x＞0）的图象如图2所示，求证：该函数的图象上不存在点C（O，C）＝3； (3)函数y＝（x≥0）的图象如图3所示，D是图象上一点（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 问题解决： (4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图4，道路以M为起点，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？ 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点，且点在轴上，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若是第一象限内抛物线上的一个运动的点，点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，求当为何值时，线段的长最大？最大值是多少？并直接写出此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当的长取得最大值时，在坐标平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标：若不存在