2023年九年级中考数学隐圆精讲

隐形圆（引圆）最值问题： 我们首先要知道圆上一动点到平面内一定点距离的何时取得最小值和最大值； 1》当定点在圆外时，如图所示 动点P是在圆o上运动，定点C在圆o外，连接CO并延长，连接OP；我们令OC=d，OP=r； （1） 当P，O，C三点不共线时P，O，C三点围成三角形，OC-OP<PC<OC+OP；即d-r<PC<d+r; （2） 当P，O，C三点共线时，①P在P’处时，OC-OP=PC,即d-r=PC；②P在P1处时，OC+OP=PC,即d+r=PC； 综上可得d-r≤PC≤d+r，PCmin=d-r，PCmax=d+r. 2》当定点在圆内时（不与圆心重合）如图所示： 动点P是在圆o上运动，定点C在圆o内，连接CO并双向延长，连接OP；我们令OC=d，OP=r； （1）当P，O，C三点不共线时P，O，C三点围成三角形，OP-OC<PC<OC+OP；即r-d<PC<d+r; （2）当P，O，C三点共线时，①P在P’处时，OP-OC=PC,即r-d=PC；②P在P1处时，OC+OP=PC,即d+r=PC； 综上可得r-d≤PC≤d+r，PCmin=r-d，PCmax=d+r. 总结：一箭穿心（定点与动点所在圆心连接，与圆的两个交点分别对应最小和最大） 1. 折叠引圆：特点：折痕的两端点一动一定，定为圆心，动确定所求点的圆弧长度； 如图所示在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.点E为AB边中点，F为边BC上一动点，以EF为折痕将三角形BEF折叠点B落在B’处，求线段DB’最小值. 解析：由题中条件可知折痕EF满足一定一动的特点，所以满足折叠引圆，根据折叠的性质我们可得到EB=EB’=AB=2,根据圆的定义可知，动点B’是以E为圆心，2为半径的圆上运动，而B’的运动又与动点F有关，我们如果我们将F看成是从点B→C的运动可得到B’的轨迹，如下图所示，B’的运动并不是完整的圆，而是一部分圆弧。 根据圆上一动点到圆外一定点的最小值分析可知，B’D取得最小值时，B’，D，E三点共线，B’在G处；所以B’Dmin=DE-EG,在直角三角形ADE中，DE=，因为EG=EB=2，所以B’Dmin=-2 例1. 如图所示，四边形ABCD是菱形，∠A=60o，AB=6，点E是边AD中点，动点F是在线段AB上由A→B运动,到达B点停止运动，连接EF，以EF为折痕将△AEF折叠，点A落在A’处. (1) 求A’C长度最小值. (2) 求A’的路径长. 例2. 如图所示矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E是AD边上的中点，点F是AB边上的动点，连接EF，以EF为折痕将△AEF折叠，点A落在A’处，求△A’BC的面积最小值. 定角定弦引圆（隐圆）： 如图所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a.像这类动点处存在一个角度恒为定角，且该角能放在一个三角形内，所对边为定边，那么该动点就是在圆上运动；这个定角就可以理解为圆周角，它所对的定边就是该圆周角所对的弦. （1） 直角类型： 如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦，因为∠P=90o，所以AB是直径.那么P的轨迹就是图2所示 图1 图2 （2） 锐角类型: 如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a,且a<90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦，此时的AB并不是直径，我们知道想要画出这个P所在的圆我们需要圆心和半径，或者找到直径；因为A，P，B三点都是圆上的点，∠A，∠B也是圆周角，点P在运动的时候∠A，∠B的大小是会发生改变的，我们过点A或点B直接作垂线，构造直角三角形AP1B,使∠P1=a，我们可以理解为P运动到了P1处的图像，如下图2所示，我选的是B点作垂线，此时AP1就是直径，这样我们就可以画出P在线段AB上方的图像，而P在AB下方的图像我们也可以用同样的方法得到，它们会关于直线AB对称，如图2所示. 图1 图2 （3） 钝角类型： 如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a,且a>90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦,此时我们发现钝角是无法构造到直角三角形中去的，那么我们就要想办法去转化，我们可以通过四点共圆的特点去转化，我们可以在线段AB的另一侧找个点Q，使∠Q+∠P=180o，此时A，P，B，Q就是四点共圆；如图2所示过点B作垂线，在AB异侧构造直角三角形ABQ，此时的AQ就是我们需要的直径；同样与锐角引圆相同，P可以在线段AB两侧存在，所以图像也