2023年九年级数学中考专题训练：二次函数与圆综合压轴题

2023年九年级数学中考专题训练:二次函数与圆综合压轴题 1.如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于、、、四点,点坐标为.抛物线与轴交于点,与直线交于点、,且、分别与圆相切于点和点. (1)求抛物线的解析式. (2)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由. (3)抛物线对称轴交轴于点,连接并延长交于点,求点的坐标. 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交y轴于点,交x轴于两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A、C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时P点的坐标和的最大面积; (3)过点B作线段的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系,并给出证明. 3.抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象. (1)点A,B,D的坐标分别为_,_,_; (2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在内(含边界)时,求t的取值范围; (3)如图②,当时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图,直线与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线经过B、C两点,且与x轴交于另一点A. (1)求抛物线的解析式. (2)点P是线段BC下方的抛物线上的动点(不与点B、C重合),过P作PD∥y轴交BC于点D,以PD为直径的圆交BC于另一点E,求DE的最大值及此时点P的坐标; (3)当(2)中的DE取最大值时,将△PDE绕点D旋转,当点P落在坐标轴上时,求点E的坐标. 5.如图,直线交轴于点,交轴于点,点的坐标为,抛物线经过三点,抛物线的顶点为点,对称轴与轴的交点为点,点关于原点的对称点为,连接,以点为圆心,的长为半径作圆,点为直线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)求周长的最小值; (3)若动点与点不重合,点为⊙上的任意一点,当的最大值等于时,过两点的直线与抛物线交于两点(点在点的左侧),求四边形的面积. 6.在直角坐标系中,已知点是反比例函数图象上一个动点,以为圆心的圆始终与轴相切,设切点为. (1)如图1,当与轴相切时,设切点为,试判断四边形的形状,并说明理由. (2)如图2,与轴相交于、两点,且四边形是菱形时. ①求出点、、的坐标; ②若点在过、、三点的抛物线上,当的面积是菱形面积的时,求点的坐标. 7.如图,已知二次函数(m>0)的图象与x轴交于A、B两点. (1)写出A、B两点的坐标(坐标用m表示); (2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上,求二次函数的解析式; (3)设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点,求CD的长. 8.如图,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线交y轴于点A,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知C点坐标为. (1)求此抛物线的解析式; (2)连结AB,过点B作线段的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切,先补全图形,再判断直线与的位置关系并加以证明; (3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间.问:当点P运动到什么位置时,的面积最大?求出的最大面积. 9.在平面直角坐标系中,直线交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线经过点B,与直线交于点C(4,-2). (1)求抛物线的解析式; (2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作MEy轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时,求△DEM的周长. (3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到,点A,O,B的对应点分别是点A1,O1,B1,若的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点的坐标. 10.如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,直线与x轴、y轴分别相交于A,B两点. (1)求出A,B两点的坐标; (2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式; (3)设(2)中的抛物线交轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 11.已知抛物线经过A(3,0)、B(4,1)两点,且与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,在抛物线的对称轴上找一点H,使△CDH的周长最小,求出H点的坐标并求出最小周长值; (3)如图2,连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合),经过A、E、