2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连接，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是线段上的任意一点，过点E作垂直于x轴交抛物线于点G．连接，当时，求点G的坐标； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，点M在线段上，当以为顶点的四边形是菱形时，求菱形的边长． 2．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时点D的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． P是该抛物线上一点，其横坐标为m，作点P关于原点的对称点Q．当线段不与坐标轴垂直时，以为对角线构造矩形，该矩形的边均与某条坐标轴垂直． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当点P是该抛物线的顶点时，求点Q的坐标； (3)当点B在矩形的边上时，求m的值； (4)当，且矩形与该抛物线有三个交点时，直接写出m的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求点C的坐标； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求； (2)求对称轴方程； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？ 7．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求△ABC的面积； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作交直线于点D，过点P作直线轴交直线于点E，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移2个单位，再向上平移8个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿所在直线翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的面积． 9．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由． (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，．点E为线段上的一点，直线与抛物线交于点H． (1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线的表达式； (2)连接，，求面积的最大值； (3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线上方且在对称轴右侧的一个动点，过作，垂足为，为点关于抛物线的对称轴的对应点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的最大值时，求此时点的坐标和的最大值； (3)将抛物线关于直线作对称后得新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点，是新抛物线对称轴上一点，是平面中任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶