2023年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合）

2023年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线交x轴于点A和，交y轴于点，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)E是线段上一点，连接，，若，求点E的坐标； (3)M是y轴上一动点，连接并延长到点N，使，P是抛物线上一点，当时，直接写出点P的横坐标 2．如图1，在菱形OABC中，已知OA＝2，∠AOC＝60°，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点． （1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式． （2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上． ①当OP+PC的值最小时，求出点P的坐标； ②在①的条件下，连接PE、PF、EF得，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围； （3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线：与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）； （2）是否存在和相应的轴正半轴上一点，使得与相似，如果存在，求出所有的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线经过点，点，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使，求点Q的坐标； (3)在坐标平面内找一点P，使与相似，且，求出所有点P的坐标． 6．如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E． （1）求证：△OAD≌△EAB； （2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式； （3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标； （4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标． 7．如图，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）． （1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由； （3）直线y=kx-6与y轴交于点N,与直线AC的交点为M,当△MNC与△AOC相似时，求点M坐标． 8．如图，抛物线与轴相交于A、两点点A在点的左侧，与轴相交于点，顶点为D，点在轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点在抛物线上并且和点关于抛物线的对称轴对称，作矩形，其中点、都在 轴上． (1)用配方法求顶点的坐标； (2)设点横坐标为， ①用含有的代数式表示点的横坐标为______（直接填空）； ②当矩形为正方形时，求点的坐标； ③连接，当与垂直时，直接写出点的坐标； (3)过顶点 作轴于点，过点作于点，直接写出与相似时点的坐标． 9．已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N． （1）如图，当点M与点A重合时，求： ①抛物线的解析式； ②点N的坐标和线段MN的长； （2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．直线l为抛物线的对称轴，且直线l交x轴于点D，抛物线的顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接BP，在直线l上是否存在点Q，使得△ODQ与△BDP相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E． （1）求二次函数的解析式； （2）移动点P，求线段的最大值； （3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标． 12．如图①，对于平面内小于等于90°的，我们不妨约定：若点P在内部或边上，作于点E，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作.如图②，在平面直角坐标系