第四讲 幂函数专题讲义-2024届高三数学一轮复习

第四讲 幂函数及函数的应用 课前检测 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1、设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） （A）是奇函数 （B）是奇函数 （C）是偶函数 （D）是偶函数 2、已知函数为奇函数，且当时，，则.等于 （A） （B）0 （C）1 （D）2 3、设函数是奇函数，则 . 4、证明函数的奇偶性 5、已知是定义在上的奇函数，时， （1）求时的表达式 （2）求的解集 教学目标 1.能利用幂函数的解析式判断函数的图象及性质 2.能利用幂函数的图象及性质处理相关问题 3.能利用学过的函数处理实际问题 知识框架 知识要点 引入：由实际问题理解幂函数 （1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜,那么她需要支付元，这里是的函数 （2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数 （3）如果立方体的棱长为，那么正方形的面积，这里是的函数 （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数（注：可以写作） （5）如果某人秒内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数 观察可以发现，以上函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数作为自变量，幂的指数都是常数.形如. 知识点1：幂函数的解析式 一般地，把叫做幂函数，其中为自变量，为常数.（注：幂的指数除了取整数外，还可以取其他的实数，当取其他实数时也有各自的含义，后续我们会进行研究） 考点一：已知点求解析式，求值 【例1】已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式. 【练习1】已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式. 【练习2】已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式. 【练习3】已知幂函数的图象过点，求 考点二：已知幂函数求参数 【例1】函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 【练习1】函数是幂函数，且在上是增函数，则实数 【练习2】函数是幂函数，且定义域为，则实数 知识点2：幂函数的图象及性质的应用 对于幂函数我们分别研究时,它们的图象与性质如下 根据图象可以发现，以上五个函数都过（1,1） 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 上单增 递减 递增 上单增 单增 单减 考点一：利用性质比较大小 【例1】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小 （1） （2） 【练习1】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小 （1） （2） 考点二：证明并探究相关函数的性质 【例1】证明幂函数是增函数. 【例2】画出函数图象，并讨论函数的奇偶性和单调性. 【练习1】证明幂函数在上是增函数和奇函数 （提示：） 【练习2】证明幂函数在上是减函数. 【练习3】画出函数图象，并讨论函数的奇偶性和单调性. 知识点3：函数的应用(一) 利用一次函数、二次函数、幂函数对于一些生活中的实际问题建立对应的函数模型进行问题讨论. 考点一：一次函数应用 【例1】设小王的专项（五险一金）扣除比例为20%、专项附加扣除金额为52800元、依法确定的其他扣除金额为4560元，设全年综合所得收入额为元，应缴综合所得个税税额为元 个税税额=应纳税所得额*税率-速算扣除数 应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除金额（课本例题） 其中基本减除费用（免征额）为60000元，税率与速算扣除数如下表 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 4 25 31920 5 30 52920 6 35 85920 7 45 181920 （1）求关于的解析式 （2）如果小王全年的综合所得有189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税. 【练习1】一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 与时间的关系如图所示（课本例题） （1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义 （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程是汽车里程表读数与时间的解析式，并画出图象 【练习2】据气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图象如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程． （Ⅰ）当时，求的值； （Ⅱ）将随变化的规律用数学关系式表示出来； （Ⅲ）若城位于地正南方向，且距地，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城，如果会，在沙尘暴发生