第七讲函数的应用专题讲义-2024届高三数学一轮复习

第七讲 函数的应用（二） 课前检测 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1. 设，则 （A） （B） （C） （D） 2. 函数在上递减，那么在上 （A）递增且无最大值 （B）递减且无最小值 （C）递增且有最大值 （D）递减且有最小值 3. 函数的定义域是 （A） （B） （C） （D） 4. 若，则实数的取值范围是_________． 5. 已知：,试用表示． 教学目标 1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系、掌握函数零点存在的判定方法、能结合图像求解零点问题． 2.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解、学习利用二分法求方程近似解的过程和方法． 3.数形结合思想 4.分类讨论思想 5.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用 6.掌握求解函数应用题的基本步骤. 7.测量、运动、生产、交易、储蓄等常见应用问题中变量的数学含义和关系 知识框架 知识要点 知识点1：函数的零点与方程的解 思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zero pomt）． 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数图象与轴的公共点的横坐标．所以 方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 注：函数零点是函数图象与轴交点的横坐标，是数值而不是交点. 由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点．一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解 典型例题 考点一：求一次、二次函数函数零点 【例1】函数的零点个数 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）不能确定 【练习1】函数的图象与轴交点的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【例2】函数的一个零点为1，则它的另外一个零点为. 【例3】若函数没有零点，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【练习1】函数的零点的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【练习2】二次函数中，则函数的零点个数是 （A）1个 （B）2个 （C）0个 （D）不能确定 考点二：分段函数的零点问题 【例1】函数其中，那么的零点是 【例2】已知函数,若存在实数,使得,则的取值范围为 （A） （B） （C） （D） 【练习1】设对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是 . 【练习2】已知函数 （1）若，则实数. （2）在（1）的条件下，若直线与的图像有且只有一个交点，则实数的取值范围是. 【练习3】已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____. 【练习4】已知符号函数，则函数的零点个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【练习5】函数的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 考点三：综合应用 【例1】函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则 （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 x x y y -1 O 1 -2 -1 O 1 2 1 -1 -1 1 图1 图2 【练习1】关于的方程（,且）解的个数是 （A）2 （B）1 （C）0 （D）不确定的 【练习2】设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为 （A）0 （B）9 （C）12 （D）18 【例2】已知函数. （1）若函数是上的偶函数，求实数的值. （2）若，求函数的零点. 知识点2：零点存在性定理 探究：对于二次函数,画出它的图象求出它的零点所在的区间，观察此时函数图象与轴有什么关系?在任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数与轴的关系，并探究的取值刻画这种关系的方法. 一般地，我们有： 函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 典型例题 考点一：求函数零点个数 【例1】求方程的实数解的个数. 思考：为什么由图和还不能证明函数只有一个零点？你能证明函数是增函数吗？ 【例2】下列函数不存在零点的是 （A） （B） （C） （D） 【练习1】若函数是偶函数，定义域为且在上减函数，，则函数的零点有 （A）唯一一个 （B）两个 （C）至少2个 （D）无法判断 【练习2】方程的解的个数为 (A)0个 （B）1个 （C）0个或1个 （D）2个 【练习3】已知,那么的方程的实数根的个数是