特殊四边形综合题专项练--2023年中考数学备考必刷题

特殊四边形综合题 1．如图，中，对角线、交于点，在上截取． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 2．如图，矩形的对角线， 相交于点O，且， ． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 3．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，且． (1)证明： ； (2)若平分，求证：四边形是菱形． 4．问题情境： 如图1．在正方形中，，点是对角线上的一个动点（不与，重合）．连接，将绕点顺时针旋转到，连接交于点． 猜想证明： (1)在点的运动过程中，试判断的形状，并说明理由； (2)问题解决：在点的运动过程中，求线段的最小值； (3)当点为线段近点的三等分线时（如图2）．直接写出此时线段的长度． 5．在菱形中，点G在直线上，E为边的中点，交直线于点F． (1)如图①，求证：； (2)如图②、图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明． 6．已知：如图所示，E、F分别是平行四边形的、边上的点，且． (1)求证：． (2)若M、N分别是、的中点，连接、， 求证：四边形是平行四边形． 7．如图，在平行四边形中，连接，，点M为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 8．在平行四边形中，相交于点O，过点C作交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 9．如图，四边形的对角线，相交于点O，，为矩形对角线，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的值． 10．如图，在中，，D为的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，是等边三角形，求的长． 11．如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的长为______． 12．如图，在菱形中，于E，于F． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，如果，，求的长． 13．如图，为平行四边形的对角线，点，分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若为中点，，，求的长． 14．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 15．如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． (1)【尝试初探】 在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深入探究】 若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． (3)【拓展延伸】 连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2)证明见解析 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，； ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴平分． 2．(1)见解析 (2)9 （1）解：∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； （2）四边形的面积 ． 3．(1)见解析 (2)见解析 （1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． （2）证明：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， ， 在和中， ， ， 四边形是菱形． 4．(1)直角三角形，理由见解析 (2)6 (3) （1）解：是直角三角形，理由如下： 由旋转可知，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即是直角三角形且； （2）解：在中，由勾股定理，得， ， ， 当最小时，取最小值， 点是对角线上的一个动点， 时，取最小， 四边形是正方形，， ，， 为的中点．在中，， 最小值为6； （3）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当点为线段靠近点的三等分线时，此时线段MP的长度为． 5．(1)见解析 (2)图②，图③ （1）证明：如图①，取的中点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点H是的中点，点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图②，取的中点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点H是的中点，点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图③，取的中点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点H是的中点，点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，