山西省晋中市2023届高三下学期5月普通高等学校招生模拟（三模）数学试题A卷

晋中市2023年5月普通高等学校招生模拟考试 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，则= A B. C. D. 2. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数学中的天桥．若复数，，则（ ） A. -i B. i C. D. 3. 设向量与向量的夹角为，定义与的向量积：是一个向量，它的模．若，，则（ ） A. -1 B. 1 C. D. 4. 田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是（ ） A. B. C. D. 10. ChatGPT是OpenAI公司推出一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查机构为了解美国大学生用ChatGPT代写作业的学生比例，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了代写作业的学生占比，将数据从小到大依次排列为：71%、75%、77%、80%、82%、85%，另外两所学校以侵犯隐私为由拒绝给出调查数据，那么这8所学校使用ChatGPT代写作业的学生比例的中位数可能是（ ） A. 76% B. 77.5% C. 80% D. 81.5% 11. 已知函数，关于x的方程，下列结论正确的是（ ） A. 存在使方程恰有2个不相等的实根 B. 存在使方程恰有4个不相等的实根 C. 存在使方程恰有5个不相等的实根 D. 存在使方程恰有6个不相等实根 12. 已知圆，则（ ） A. 存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点 B. 存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等 C. 存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分 D. 存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填入答题卡中对应的位置） 13. 设且，则的最小值为_________． 14. 从0，1，2，⋯，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍数，则不同的取法有_________种．（用数字作答） 15. 在中，，，D是AC边的中点，且AC=2．将沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，形成四面体A-BCD．则该四面体外接球的表面积为_________． 16. 点A1，A2是双曲线左、右顶点．若直线上存在点P，使得，则该双曲线的离心率取值范围为_________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是的重心． （1）求证：平面PCD； （2）若平面PAD⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，且，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值． 18. 记为数列的前n项和，已知，且． （1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题． 若_________，求数列的前n项和． ①；②；③． 19. 锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值. 20. 晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意愿相互独立． （1）从游客中随机选