第15讲 函数与方程-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第15讲 函数与方程 1、函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． (2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根． (3)零点存在性定理： 如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立． 2、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 交点 零点个数 3、有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 【2018年新课标1卷理科】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 1、.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A.，0 B.－2，0 C. D.0 2、函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. (－∞，－1) D. (－∞，－1)∪ 4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________． 考向一　判断零点所在的区间 例1、(多选)(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) （2）.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) 变式1、设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A.在区间，(1，e)内均有零点 B.在区间，(1，e)内均无零点 C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 变式2、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断. 考向二 判断零点的个数 例2　(1) 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg (x2－3x＋3)，求f(x)在R上的零点个数； (2) 试探讨函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数． 变式1、变式2、函数f(x)＝2x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 变式2、（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 方法总结：函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 考向三 与零点有关的参数的范围 例3、(1) 设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有4个不同的零点，求实数m的取值范围； (