第七讲 二次根式2（讲义）-初中数学竞赛（一）

二次根式（二） 【知识概述】 本讲主要研究二次根式的运算，模块一重点介绍二次根式的加减乘除及混合运算：模块二着重介绍了二次根式化简的一些方法技巧，主要包括分母有理化这一重要工具以及复合二次根式的化简方法，模块三介绍了二次根式比大小问题． 【知识结构】 模块一 二次根式的运算 【知识精要】 1. 二次根式的加法与减法 整式的加减归结为合并同类项．二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式． 二次根式加减法的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并 例如：． 1. 二次根式的乘法与除法 二次根式性质3：，即,也就是二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变． 同样的，二次根式的性质4：就是二次根式相除的法则，即两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变． 需要注意的是二次根式相乘和相除的结果必须化成最简二次根式． 两个根式相乘，如（其中是由根号有意义条件得到的）；两个根式相除，如． 1. 混合运算 实数的运算律、运算性质以及运算顺序的规定，在二次根式运算中都适用． 【典型例题】 1. （1）； （2）． 1. （1）； （2）． 1. 计算（1）； （2）． 模块二 二次根式的化简与求值 【知识精要】 1. 分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号． 例如：． 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．如：与互为有理化因式，与也互为有理化因式． 1. 复合二次根式 复合二次根式：如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做复合二次根式，也叫重二次根式．如，等． 复合二次根式的化简：对于复合二次根式，设法找到两个正数x、y （）使，，则． 例如． 1. 降次法 把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，叫做降次法． 降次法是根据给出的条件或题目的结构，利用代入、变形等手段，将一个多项式的次数降低，以使问题获得较简捷地求解.简单地说，就是将“高次”问题化为“低次”问题的方法，它在解题中有化繁为简的功能，同时能使思路更加明快、简捷． 【典型例题】 1. 计算． 1. 化简． 1. （1）已知，化简； （2）若，则的值为__________． 1. 化简计算：． 1. 化简计算：（1）； （2）． 1. 化简计算：． 1. 设的整数部分为a，小数部分为b，求． 1. 化简． 1. 设，求的值． 模块三 二次根式比大小 【知识精要】 在学习二次根式时，不查表、不求二次根式的值，来比较二次根式的大小是常考题型，常用的方法有很多：作差法、作商法、平方法、有理化、取倒数等方法，选择合适的方法对解题会有很大帮助． 1、差是两项：直接作差． 如比较与的大小．直接作差： 2、差是三项：先平方再做差． 如比较和的大小，差是三项，分别平方后作差剩两项，，，平方后作差就是． 3、差是4项：平方后作差剩两项则直接比大小，平方后作差剩三项，则再平方化为两项进而比大小． 如比较与的大小，直接作差，差是4项，平方后作差，差是两项． 比较与的大小，直接作差，差是4项，平方后作差，差是三项， 即转化为第二种类型． 因此，比较与这种不含分母的二次根式都可以采用上述方法． 特别的，比较与，若满足，则可以采用先分子有理化再作差． 【典型例题】 1. 比较与的大小． 1. ，且，，，则x、y、z中最大的是_________． 【课堂练习】 1. （3分）有理化：． 1. （3分）已知m是2016的算术平方根的整数部分，n是1991的算术平方根的小数部分，则化简_____________． 1. （4分）比大小：，． 4. 求值： （1） 设的值； （2） 若的值． 5. 若，求的值． 【课后作业】 1. （2分）计算：． 1. （2分）解不等式：． 1. （2分）设a、b为有理数，且，求a、b的值． 1. （4分）对于正实数a和b，下列命题成立： ①若，则； ②若，则； ③若，则； （1）根据以上三个命题的规律，猜想：当时，的取值范围是多少． （2）当时，猜测的取值范围并加以证明． 4. 若，，试比较A、B的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 二次根式（二） 【知识概述】 本讲主要研究二次根式的运算，模块一重点介绍二次根式的加减乘除及混合运算：模块二着重介绍了二次根式化简的一些方法技巧，主要包括分母有理化这一重要工具以及复合二次根式的化简方法，模块三介绍了二次根式比大小问题． 【知识结构】 模块一 二次根式的运算 【知识精要】 1. 二次根式的加法与减法 整式的加减归结为合并同类项．二