第四讲因式分解2（讲义）-初中数学竞赛（一）

第四讲 因式分解（二） 【知识概述】 上一讲主要介绍了因式分解的三种拓展，分别为换元法、双十字相乘、待定系数法．本讲主要介绍另一种因式分解常用方法和技巧，即主元法，以及因式分解在各种问题中的应用。 因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，对于培养学生的观察、思考、解运算和综合分析解决问题的能力都有着十分独特的作用． 【知识结构】 模块一 主元法 【知识精要】 所谓主元法就是在因式分解含多个字母的代数式时，选定一个字母为主元（未知数），将其他字母看作常数，把代数式整理为关于主元的降幂排列（或升幂排列），然后再用所学过的公式法、分组分解法、十字相乘法等进行因式分解． 用主元法因式分解的关键在于如何选取“主元”，通常有以下几个原则： （1）低次做主元：未知数次数有高有低时，通常选取低次（最高不超过2次）的字母为主元，便于分清结构，因式分解； （2）常量做主元：有些结构复杂的多项式若反客为主，选取不常作为未知数的字母为主元，有时更能简化原式结构； （3）对称元做主元：当多项式中各变元依次互换后，所得式子与原式相同，这样的对称式中任何字母均可作为主元； 此外若所有字母地位几乎对等，项数、次数差不多，此时一般也可选取任何字母作为主元，例如能用双十字相乘分解的多项式，也可用主元法分解． 用主元法解决问题可以排除多个字母间的干扰，简化多项式的结构． 【典型例题】 1. 因式分解：． 【名师点拨】原多项式为包含、两个变元的六次八项式，结构较为复杂，很难直接因式分解，注意到最高次为4次，而最高次为2次，因此可考虑从低次的入手，将看作主元，看作常量，整理成关于的二次式，从而简化多项式的结构． 【答案】 2. 因式分解： （1）； （2）． 【名师点拨】考查低次做主元． 【答案】 3. 因式分解： （1）； （2）． 【名师点拨】考查主元法． 【答案】（1）；（2）． 4. 因式分解：． 【名师点拨】考查含多个字母的主元法． 【答案】． 模块二 因式分解的应用 【知识精要】 因式分解作为处理代数式的常用工具，在许多数学问题中都有应用。 数论是研究整数相关问题的数学分支，在中学课内阶段主要对应六年级同整数相关的内容，在自招和竞赛中有较多的涉及．因式分解在解决数论中的整除性，素数和合数，完全平方数等相关的问题中有较多的应用． 此外，因式分解在其他与代数式有关的实际问题中也有广泛应用。 【典型例题】 （1）证明：是合数． （2）能被500至600中的若干个数整除，试写出三个这样的数． 【答案】（1）略；（2）511，513，545． 【解析】（1） 证明：具有如下性质的自然数有无穷多个，对于任意的自然数，都不是素数． 【答案】略． 已知，求证：是一个完全平方数． 【名师点拨】对于这类问题可以先从比较小的数开始发现规律，从而发现证明的逻辑． 如； ； ； 发现规律后大胆猜测，并试图证明即可． 【答案】略． （1）已知是正整数，且是质数，求的值； （2）已知是正整数，且表示一个质数，求这个质数． 【答案】（1）3；（2）7． ，，，是四个整数，且使得是一个非零整数，求证：是合数． 【答案】略． 已知，，，且，，求 【答案】0，，． （1）在1～100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的有多少个？ （2）已知多项式的系数都是整数．若是奇数，证明：这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积． （1）已知，，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 （2）设，如果，，，试给，，排序． 【答案】（1）B；（2）． 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）998；（2）． （1）已知在ΔABC中，（，，是三角形三边的长）．求证：． （2）已知，，是一个三角形的三边，则的值（ ） A．恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负 【答案】（1）略；（2）B． 【课堂练习】 1. （10分）因式分解：． 【名师点拨】考查含多个字母的主元法． 【答案】． 2. （20分）因式分解：． 【答案】． 3. （15分）判断是质数还是合数． 【答案】合数． 4. （15分）如果有两个因式和，则_________． 【答案】21． 5. （20分）当为何值时，多项式能分解成两个一次因式的乘积？ 【答案】． 6. （20分）证明：对任何整数和，代数式的值都不会等于33． 【名师点拨】33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可． 【答案】略． 【课后作业】 1. （15分）设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了