第三讲 因式分解1（讲义）-初中数学竞赛（一）

第三讲 因式分解（一） 【知识概述】 把一个多项式在一个范围化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，是中学数学中最重要的恒等变形之一，是我们解决许多数学问题的有力工具． 本讲主要介绍因式分解的三种常见方法，分别为换元法、双十字相乘、待定系数法，阐述常见的不同类型的多项式如何因式分解． 因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，对于培养学生的观察、思考、解运算和综合分析解决问题的能力都有着十分独特的作用．既可以复习整式的乘法运算，又可为接下来学习分式、根式打好基础． 【知识结构】 模块一：换元法 【知识精要】 换元法： “换元”是指字母代式，即用新的“元”代替原式中比较复杂的代数式，对含新“元”的代数式按要求因式分解，再将其所代替的式子换回来，这种方法叫换元法，又叫设辅助未知数法． 因式分解中，通常对重复出现的相同部分代数式进行换元，步骤如下： （1）将多项式中的部分代数式看作整体，统一替换成新的变元； （2）整理关于新元的多项式，并因式分解； （3）将新元替换回初始的代数式，整理并进行后续分解． 如：对因式分解， 可令， 则原式 ． 换元法的作用是使代数式得到简化，让各项之间的关系容易看清，便于分解． 在一些复杂的问题中，将多项式中某些部分看成一个整体，用换元法引进新的变元，可以避免混乱，减少多项式的项数和次数，使不熟悉转化为熟悉，使复杂转化为简单，从而用已经学过的熟悉或简单的方法来解决问题． 它是字母表示数这一数学思想的延续和发展，在解题和证明中经常起到杠杆和桥梁的作用． 【典型例题】 1. 因式分解：． 2. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 3. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 因式分解：． 【名师点拨】考查如何构造可以换元的结构． 因式分解：． 【名师点拨】考查形如、的换元法． 模块二：双十字相乘法 【知识精要】 双十字相乘法，也叫长十字相乘法，属于因式分解的一类，本质上与十字相乘法一致，只不过要分解出三个十字． 双十字相乘法一般适用于二元二次六项式，其中、为未知数，其余均为常数． 用双十字相乘法因式分解的步骤如下： 以为例， （1）先用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式，如； （2）再按一个未知数的一次项系数分离常数项，如； （3）然后按另一个未知数的一次项系数进行检验，如，这一步不能省略； （4）纵向相乘，横向相加，得到原式． 用十字交叉法表示如下： 6 【典型例题】 因式分解：． 4. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【名师点拨】考查双十字相乘法． 5. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【名师点拨】考查缺项的双十字相乘法． 6. 因式分解： （1）； （2）． 【名师点拨】考查含三个未知数的双十字相乘法． 7. 已知：、、为三角形的三条边，且．求证：． 【名师点拨】考查双十字相乘法的应用． 模块三：待定系数法 【知识精要】 待定系数法： 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，根据得到的恒等式的性质得出对应项系数应满足的方程或方程组，再通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法． 有些复杂的多项式因式分解可以借助于待定系数法． 用待定系数法因式分解，步骤如下： （1）设原多项式分解为含待定系数的因式的积； （2）依据等式恒等，比较等式两边同类项的系数，得到方程或方程组； （3）解方程或方程组求出待定系数的值； （4）将多项式因式分解． 其中假设未知系数时，可通过观察原多项式的结构，判断确定因式中的一些项，减少待定系数的个数，从而降低解决问题的难度． 待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合．其指导作用贯穿于初等数学、中等数学甚至高等数学，认真学好并掌握待定系数法对于解决很多问题都大有裨益． 【典型例题】 因式分解：． 【名师点拨】这是的四次五项式，若能因式分解，必然可以分解为两个二次式的积或一次式与三次式的积，用待定系数法均可尝试．由于多项式因式分解的形式通常是唯一的，若第一种形式可行，就不必尝试另一种形式，若第一种不行，再从第二种形式入手． 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【名师点拨】考查待定系数法． 请阅读：分解因式． 分析：原式的前3项可分为，则原多项式必定可分为． 解：设 ， ， 对比左右两边相同项的系数可得，解得， 原式． 上述解法是将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式．然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，然后通过解方程、方程组便可求出待定系数，或找出某些系数所满足的等式，这种解决问题的方法叫做待