第二讲 多项式（讲义）-初中数学竞赛（一）

第二讲 多项式 【知识概述】 多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方法上对现代数学都有深刻的影响．与多项式有关的问题除了出现在函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、数论等知识，是一个综合性的工具，也是自招与竞赛中的热点问题． 本讲共分为三个模块，分别介绍了多项式的除法、余式与因式定理和有理根定理及其应用．这些定理是代数理论中十分重要的工具，能够有效地解决因式分解和代数式化简求值等问题，需要学生熟练应用与掌握． 【知识结构】 模块一 多项式除以多项式 【知识精要】 1. 多项式除以多项式： 两个多项式相除，可以先把这两个多项式按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 多项式除以多项式的一般步骤： （1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； （2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项； （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积； （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数为止，被除式除式商式余式． 如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除． 例：计算 所以商式为，余式为． 注意以下几点： （1）列竖式计算时，按某一个字母作降幂排列，所缺的项需要用零补齐； （2）目前我们所学习的多项式除以多项式情况均为一元多项式相除． 当除式、被除式都按照降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时只需写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下： 于是得到商式为，余式为． 【典型例题】 1. 用列竖式的方法计算： （1）； （2）． 1. （1）已知能被整除，求k的值； （2）若能被整除，试求的值； （3）当a、b为何值时，多项式有因式和． 2. 已知关于x的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是，求这个三次多项式． 3. 求被除所得的余式． 模块二 余式与因式定理 【知识精要】 形如（n为非负整数，）的代数式叫做关于x的一元n次多项式．称为多项式的系数，n称为此多项式的次数． 对于任意两个多项式，（），总存在两个多项式和，使得，其中叫做被除式，叫做除式，叫做商式，叫做余式，余式的次数小于除式的次数．当时，有，此时称作被整除，或被整除，和叫做的因式． 如果是一次式，则的次数小于1，因此，只能是常数（0或非零常数），这时，余式也叫余数，记为r，即有； 令得，；因此，有以下重要定理： 余数定理 多项式除以所得的余数等于． 由上述可知，如果能被整除，那么必有，反之，如果，那么能被整除，因此，得到以下重要定理： 因式定理 如果多项式能被整除，亦即有一个因式，那么，反之，如果，那么必为多项式的一个因式． 几个推论： （1）若是整系数多项式，则除以所得的商也是整系数多项式，余数为整数； （2）若为整系数多项式，a、b为不同整数，则； （3）除以（）的余数为． 【典型例题】 4. 若可被整除，求． 5. 设a，b，c，d是4个不同实数，是实系数多项式，已知： （1）除以的余数为a； （2）除以的余数为b； （3）除以的余数为c； （4）除以的余数为d； 求多项式除以的余式． 6. 设式中各系数（）都是整数，今设有四个不同的整数使（）都等于2，试证：对于任何整数x，决不等于1，3，5，7，9中的任何一个． 7. 已知有整系数的多项式，又已知存在四个不同的整数a，b，c，d，使得，证明没有整数k，使得． 模块三 有理根定理及其应用 【知识精要】 有理根定理 若是一个整系数多项式，而是的一个有理根，其中r、s互质，那么必有，；特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子． 推论：若是一个次数n大于0的整系数多项式，如果是的一个有理根，其中r、s是互质的整数，那么，． 有理根定理的一个常见应用即是利用这个性质进行试根，结合因式定理对多项式进行因式分解，具体步骤如下： 1. 对于一个整系数一元高次多项式，找到的所有因数； 1. 将所有因数依次代入多项式，若存在一个因数a，使得，则a为多项式的一个根； 1. 由因式定理可知，必有一个因式为，因此可写为； 1. 对于多项式可以继续利用试根法进行因式分解，也可利用其它方法进行因式分解，最终将因式分解． 【典型例题】 8. 分解因式：． 9. 已知定理：设，是整系数多项式，且的系数互质，如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数多项式，请证明有理根定理及其推论． 10. 设为n次整系数多项式，若、和都为奇数，证明：无有理根．