江苏省南京市燕子矶中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

南京燕子矶中学2022-2023学年第二学期期中考试卷 高一数学 一．单项选择题（共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项最符合题意） 1．已知复数，则　　 ． ． ． ． 2. 已知在中，点为边的中点，若，则　　 ．1 ． ．2 ． 3．某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人．从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有　　 ①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为； ④中部地区学生小张被选中的概率为 ．①④ ．①③ ．②④ ．②③ 4. 已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（ ） ． ． ． ． 5. 在中，，点为边上靠近的三等分点，则的值为　　 ． ． ． ．4 6. 已知，，且，，求=（ ）． ． ． ． ． 7. 某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是　　 ．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间，内的最少 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14 ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456 8．在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为　　 ． ． ． ． 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有　　 ．样本，，，的极差 ．样本，，，的中位数 ．样本，，，的标准差 ．样本的方差 10. 设为复数，且，下列命题中正确的是（ ） ．若，则 ．若为纯虚数，则为实数 ．若，则的实部与的虚部互为相反数 ．若，则复平面内对应点不可能在同一象限 11. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是　　 A．2个球颜色相同的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 12. 已知正八边形的边长为1，是正八边形的中心，是正八边形边上任意一点，则　　 A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数为________ 14. 若复数满足，则在复平面内对应点所围成的区域面积为　　． 15. 甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为　　． 16. 甲、乙两支田径队队员的体重（单位：信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为_______ 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为， 四．解答题（共6小题，共70分） 17．（每小题各5分） （1）已知，，且，求； （2）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值． 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，的面积为，求的周长． 19. 在中，，，与的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点. （1）用表示； （2）设，.①求证；②求的最小值． 20. 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局． （1）求甲获胜的概率． （2）现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜．请问：这个规则公平吗，为什么？ 21. 某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求这200名学生每周阅读时间的中位数的值精确到； （2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，，，的学生中抽取6名参加座谈会． 你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由； 从这6名学生中随