专题9.5 四边形的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题9.5 四边形的综合 【典例1】实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考： （1）若点落在矩形的边上（如图①）． ①当点与点重合时， ；当点与点重合时， ； ②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长． 深入探究： （2）若点落在矩形的内部（如图③），且点、分别在、边上，请直接写出的最小值． 拓展延伸： （3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）①当点与点重合时，如图1，画出图形可得结论；当点与点重合时，如图2，则平分； ②证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得为菱形，当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可； （2）如图4，当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，所以； （3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【解题过程】 解：（1）①； 当点与点重合时，是的中垂线， ； 当点与点重合时，此时． ②设交于点， 四边形是矩形 ， 点沿折叠后对应点为， 在和中， 四边形是平行四边形 是菱形 当时，菱形的边长为． 设菱形边长为，则 在中，由勾股定理得：， ， ．   （2）的最小值为． 若点落在矩形的内部，且点、分别在、边上， 设，则， 当在一条直线上时，最小， 最小值为， 所以当最大取时，的最小值为． （3）或． 情况一：连接， ， 设，则， 则 解得：； 情况二： 设，则， 则，， 则，，， 解得：． 综上所述，的长度为或 1．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，． （1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积； （2）如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）； （3）在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长． 2．（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）【问题初探】（1）如图1，四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试判断,,之间的关系．聪明的小明是这样做的：延长到点，使，连接，先证明，再证，故，，之间的数量关系为 ． 【类比探究】（2）如图2在四边形中，，，，点，分别在四边形的边，的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明． 3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以2cm/s的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，连结交对角线于点．设点的运动时间为． （1）当四边形是矩形时，求出的值． （2）当四边形是菱形时，求的值． （3）当是等腰三角形时，直接写出的值． 4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）在正方形的对角线上任取一点，连接，过点作的垂线交边于点． （1）如图1，写出与的数量关系并加以证明； （2）如图2，连接交于点，若，，求的长； （3）在（2）的条件下，将沿着翻折，得到，如图3，连接，求的面积． 5．（2021春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，． （1）如图1，若，求的面积． （2）如图2，求证：． （3）如图3，点为延长线上一点，点为延长线上一点，．请直接写出线段、、的数量关系． 6．（2023春·全国·八年级期中）如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DFBE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF． （1）求证：四边形EGFH为平行四边形； （2）若BC＝10，AB＝6，∠ABC＝60°； ①当BG＝GF时，求四边形EGFH的面积： ②如图2，延长FG交AB于点P，连接AG，记ΔAPG的面积为S1，ΔBPG的面积为S2，若FP⊥AB，求的值． 7．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）已知正方形的边长为，、分别为边、上两点． （1）如图，若，求证：． （2）如图，若，作于，连接，求证：． （3）如图，若，，点在边上满足，则长度为______（直接写出答案） 8．（2022秋·湖北武汉·九年级江夏一中校考阶段练习）如图1所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E为AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF． （1）求∠EAF的度数； （2）如图2所示，连接CF交BD于M，求证：M为CF的中点； （3）如