第五讲 函数的概念及定义域 复习讲义-2023届高三数学一轮复习

第5讲 函数的概念及定义域 一．知识精讲 知识一 1．函数的概念：设是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域,与的值相对应的的值叫做函数值，所有函数值的集合叫做函数的值域．() 注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素．两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可． （2）对应法则，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量只能是数． （3）与的关系：是自变量的函数，表示时的函数值． 2．区间与“无穷大”：设是两个实数，而且，则 （1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； （2）满足不等的实数的集合叫做开区间，表示为； （3）满足不等式，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为； （4）实数集也可以用区间表示为，其中“”读作“无穷大”． （5）若，可表示为, ,可表示为； （6）若,可表示为, ,可表示为． 知识二 1．映射的概念：设是两个非空的集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作 2．若，且,如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象． 3．中元素都有象且有唯一的象，中元素可以没有原象，若有也不一定只有一个．中多个元素可以同时对应中一个元素，但中一个元素不能对应中多个元素． 4．对于集合中不同元素，在集合中有不同的象，而且中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到上的一一映射． 知识三 1．定义域概念：使函数有意义的所有自变量组成的集合 2．求定义域的方法： ①是整式，则定义域为； ②是分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合； ③是偶次根式，则定义域是使根号内的表达式不小于零的实数的集合； ④的次方没有意义 ⑤, 则定义域为与的交集； ⑥给出的定义域，求的定义域，则把的定义域当作值域，然后再求的定义域； ⑦给出的定义域求的定义域，则求值域当作把的定义域． 二．经典例题 题型一：函数的定义 【例1】（1）如下图可作为的图象的是（ ） A B C D （2）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是(　 　)． A B C D 【例2】下列各题中两个函数表示同一个函数的有 . ①； ②,； ③； ④； ⑤． 【变式】下列各组中表示同一函数的是（ ）． A． B． C． D． 题型二：求函数值问题 【例3】已知, ①求的值； ②求的值； ③求． 【例4】已知函数，求的值． 题型三：函数定义域问题 【例5】求下列函数的定义域 ①； ②； ③． 【变式】求下列函数的定义域 ①； ②； ③． 【拓展】已知函数且为常数)在区间上有意义，则实数的取值范围为 ． 【例6】（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【变式】（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）已知的定义域为，求的定义域； （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【拓展】（1）已知函数的定义域为, 求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （3）已知的定义域为，求函数的定义域． 【例7】若函数的定义域为，求实数的取值范围． （2）解得 【变式】已知函数的定义域为，则的取值范围是__ ___． 【例8】已知函数的定义域为,求的定义域． 【变式】已知函数,求的定义域． 题型四：映射问题 【例9】（1）在映射中，下列说法正确的是（ ） A．集是集中所有元素的象的集合 B．集中的每一个元素至少与集中的一个元素相对应 C．集中可能有元素不是集中元素的象 D．集中可能有元素在集中无象 （2）给定映射，在映射下，的原象是（ ）． A． B． C． D．