2023年山东省济南市中考数学 专题提升狂练(几何探究问题)

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) 2023年济南中考数学必考压轴题型靶向专题提升狂练 (几何探究问题) 1.把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点． （1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，　　　　　　；将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？答：　　　　　　（填“会”或“不会”）；若改变，的值为　　　　　　（不必说明理由）； （2）在（1）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用） 2.已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且． (1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明； (2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点． ①求证：； ②连接，若，，求的长． 3. 【题目】如图①，在矩形中，，F是延长线上一点，且，连接，交于点E，连接．试判断线段与的位置关系． 【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法： 证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形是矩形， ∴．∴（依据1）∵，∴，∴，∵， ∴（依据2），∴垂直平分． (1)【反思交流】 上述证明过程中的“依据1”是 　 　；“依据2”是 　 　； (2)小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连接图①中的，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求证：点G在线段的垂直平分线上； 【拓展应用】如图③，将图②中的绕点F顺时针旋转得到．分别以点B、C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接，若，直接写出m的值． 4. 已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且． (1)点D与点B重合时， ①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是，位置关系是； ②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由； (2)BD＝2CD时， ①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度； ②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值． 5. 已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜a＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是 　 　；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是 　 　； 类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； 拓展应用：（3）如图3，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长． 6. 在中，，点D、E都是直线上的点（点D在点E的左侧），． (1)如图（1），当点D、E均在线段上时，点D关于直线的对称点为F，求证：． (2)如图（1），在（1）的条件下，求证：． (3)若线段时，求的长度． 7. （1）如图1，将直角的顶点E放在正方形的对角线上，使角的一边交于点F，另一边交或其延长线于点G，求证：； （2）如图2，将（1）中的“正方形”改成“矩形”，其他条件不变．若，，试求的值； （3）如图3，将直角顶点E放在矩形的对角线交点，、分别交与于点、，且平分．若，，求、的长． 8. 【背景】 如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形使点落在上的点处，折痕为． 【操作】 （1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； 【应用】 （2）求的度数和的长； （3）如图2，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是__________ ； 【拓展】 （4） 如图3，若点是射线上的一个动点．将沿翻折，得，延长至，使，连接．当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案：__________． 9. 已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为． 解答下列问题：      （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的