专题9.16 分式（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题9.16 分式（全章复习与巩固）（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系． 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想． 【要点梳理】 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】 类型一、分式➽➼分式的意义✭✭分式的基本性质 1．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） 的取值 －2 2 分式的值 无意义 0 1 2 A． B． C． D．的值不存在 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可． 解：∵x为﹣2时方程无意义， ∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确， 故分式为：， 当x=2时，分式的值为0， 故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误， 故分式为：， 当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6， 故，故C正确， 当时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确， 故选：A． 【点拨】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键． 举一反三： 【变式1】若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】分式总有意义，则分母永远不等于0，即的最小值大于0，据此解题即可． 解：∵分式总有意义， ∴的最小值，解得． 故选C． 【点拨】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键． 【变式2】若分式的值为0，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可． 解：∵分式的值为0， 由①得： 由②得：且 ∴ 故选B 【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 2．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B