黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题

2022级高一学年下学期期中考试 数 学 试 题 命题人：邢紫莉 审题人：刘建 一、单项选择题(本大题共有8个小题，每小题5分，共40分) 1.设向量则( ) A. B. C. D. 的夹角为 2.如图,Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是( ) A. B.1     C. D.2 3.已知两个不同平面，两条不同直线，下列命题中假命题是 ( ) A.若则 B.若则 C.若则 D.若则 4.已知复数z满足 , 则复数z对应的点的轨迹是( ) A.圆  B.线段  C.点  D.直线 5.如右图，在直三棱柱 中,为的中点, ,则异面直线与所成的角为( ) A.30°  B.45°  C.60°  D.90° 6.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如右图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为( ) A. B. C. D. 7.圣·索菲亚教堂(英语:SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高,在它们之间的地面上的点 (三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( ) A. B. C. D. 8.在棱长为的正方体中,分别为棱的中点,为线段上的动点，则直线与平面的交点Q的轨迹长度为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分) 9.已知，则下列四种位置关系中，成立的是( ) A. B. C. D. 10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( ) A.复数对应的点位于第二象限 B.为纯虚数 C.复数的模长等于 D. 的共轭复数为 11.正方体的棱长为分别为的中点.则( ) A.直线与直线AF垂直   B.直线A₁G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 12.如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为若且是外一点,则下列说法正确的是( ) A.是等边三角形   B.若AC=,则A,B,C,D四点共圆  C.四边形ABCD面积最大值为 D.四边形ABCD面积最小值为 三.填空题(本大题共有4个小题，每小题5分，共20分) 13.已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为____________. 14.在中,点是边的中点,点在上,且是的重心,则用向量表示为____________. 15.在平行四边形中,,若点满足则__________. 16.在锐角中,角所对的边分别为则为_________;若边的中点为,则的取值范围是____________. 四、解答题(本大题共有6个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在复数集C中解下列方程：  (1) (2) 18.(12分)如图,在平行四边形中,分别为上的点,且  (1)求的值；  (2)求.   19.(12分)如图:已知三棱柱 中，为边上一点， 20.(12分)在锐角中,角的对边分别为,若 (1)求角的大小和边长的值； (2)求面积的最大值. 21.(12分)如图,在直三棱柱中,为棱的中点, (1)求证: (2)求证:;  (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?如果存在,求此时的值；如果不存在，请说明理由. 22.(12分)十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察.滑动横档使得在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角(称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置. (1)在某次测量中，，横档的长度为，求太阳高度角的正弦值. (2)在杆上有两点满