圆锥曲线技巧 专题讲义-2024届高三数学一轮复习专题

圆锥曲线技巧 1、 通径公式 1．椭圆的通径公式：如图1所示，在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦叫做通径，通径的长. 2．双曲线的通径公式：如图2所示，在双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦叫做通径，通径的长 3．抛物线的通径公式：如图3所示，在抛物线中，过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径，通径的长. 【例1】椭圆的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，则=_________. 【解析】由通径公式， 【答案】2 【例2】椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆C上，且的中点在y轴上，则_________. 【解析】如图，设的中点为M，又O为的中点，所以是的中位线，故，因为轴，所以轴，从而， 易求得，所以. 【答案】 2、 抛物线的焦半径与焦点弦公式 1.设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表： 标准方程 图形 焦半径公式 焦点弦公式 2．如图，设抛物线的焦点为F，为抛物线的一条焦点弦，．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①；②；③. 【例3】抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，则______. 【解析】由焦半径公式， 【答案】4 【例4】抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______. 【解析】解法1：由题意，，设，代入整理得：， 设两根为和，则，故直线l被抛物线C截得的弦长. 解法2：直线l被抛物线C截得的弦长. 【答案】 【例5】过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则______. 【解析】不妨设直线为如图所示的情形，设，则，， . 【答案】 3、 抛物线常用结论 1.如图1所示，设抛物线的准线为l，焦点为F，l与x轴交于点K，过F的直线交C于A、B两点，于点M，于点N，设中点为P，于点Q，设，，则： （1），； （2）； （3），即以焦点弦为直径的圆与准线l相切； （4）以焦半径或为直径的圆与y轴相切； （5）A、O、N三点共线，B、O、M三点共线； （6）直线与直线的斜率之和为0，即. 2．如图2所示，是抛物线的通径，K是抛物线C的准线l与x轴的交点，则是等腰直角三角形，且、均与抛物线C相切. 3．抛物线的平均性质：如图3所示，过点D的直线与抛物线交于A、B两点，则. 4．设A、B是抛物线上的两个动点，O为原点，若，则直线过定点. 【例6】如下图所示，抛物线的准线为l，焦点为F，l与x轴交于点K，过F的直线交C于A、B两点，于点M，于点N，设中点为P，于点Q，设，，证明下列结论： （1）,； （2）； （3）以焦点弦为直径的圆与准线l相切； （4）以焦半径或为直径的圆与y轴相切； （5）A、O、N三点共线，B、O、M三点共线； （6）. 【解析】（1）由题意，，，，因为F、A、B三点共线，所以， 故，从而，所以， 故，所以 显然，所以，. （2）由题意，，，所以，故 （3）由题意，是梯形的中位线， 所以，从而，故以为直径的圆与直线l相切.（4）由题意，中点为，，所以点T到y轴的距离，故以为直径的圆与y轴相切，同理可得以为直径的圆也与y轴相切. （5），，因为，所以， 从而，所以A、O、N三点共线，同理可证B、O、M三点也共线. （6）由题意，， 所以 ， 从而直线和关于x轴对称，故. 4、 圆锥曲线第二定义 圆锥曲线的第二定义是：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。 圆锥曲线：包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。 椭圆：平面内一个动点到一个 定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 双曲线(的一支)：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则│PF1-PF2│=2a）定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 抛物线：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。 5、 椭圆、双曲线的焦半径公式（坐标版） 1．椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 2．