上海市位育中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

位育中学2022学年第二学期高一年级数学期中 2023.4 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）在答题纸上填写相应结果 1．函数的最小正周期是______． 2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为______． 3．已知，则x取值集合为______．（答案用反正弦表示） 4．已知，则______． 5．若是边长为2的等边三角形，则在的数量投影为______． 6．若函数为偶函数，则______． 7．在中，已知，，，则的外接圆半径______． 8．关于x的方程有实数解，则实数a的取值范围是______． 9．已知的图象如右，则它的解析式______． 10．若的图像在上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m的取值范围是______． 11．已知，有以下4个命题： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与函数的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中所有正确的命题序号为______． 12．已知平面向最，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 二、选择题（每题4分，共16分）在答题纸上填涂相应结果 13．“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．在中，若，则的形状一定是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 15．在直角中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 16．已知a，b，，，满足，，，有以下2个结论： ①存在常数a，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数b，对任意的实数，使得的值是一个常数． 下列说法正确的是（ ） A．结论①、②都成立 B．结论①成立、②不成立 C．结论①不成立、②成立 D．结论①、②都不成立 三、解答题（共46分，6+8+6+10+12=42）在答题纸上填写结果 17．（3+3=6分）已知，， （1）若与的夹角为120°，求； （2）若与垂直，求与的夹角． 18．（4+4=8分）已知，，，． （1）求的值： （2）求的值，并确定的大小． 19．（6分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设、，分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求的值． 20．（4+6=10分）如图，折线为海岸线，，，，． （1）求BC的长度； （2）若，求D到海岸线的最短距离．（以上答案都精确到0.001km） 21．（3+4+5=12分）已知． （1）将化成； （2）求函数在区间上的单调减区间； （3）将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求实数a的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.1; 5.5; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.（1）（3） 12. 11.已知，有以下4个命题： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与函数的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中所有正确的命题序号为______． 【答案】（1）（3） 【解析】根据题意，依次分析4个结论: 对于(1),,其定义域为,有, 为奇函数,其图像是中心对称图形,(1)正确; 对于(2),即,即 或或,其解集不是，(2)错误; 对于(3),若,则或,解可得,,则函数的图像与轴有无穷多个交点,且任意两相邻交点的距离相等,(3)正确; 对于(4),若,则或,解可得或,函数与直线的图像有无穷多个交点,但两相邻 交点间的距离不一定相等，(4)错误； 12.已知平面向最，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】如图, 设,若对任意实数,都有 成立,则在以为直径的圆上,过O作OD//AC,交MC于E,交圆于, 二、选择题 13.A 14.B 15.C 16.B 15.在直角中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考查,即成立. 考查,司成立.利用选项的结论可得成立.考查,由于与所成的角为钝角,则,所以不成立. 16.已知a，b，，，满足，，，有以下2个结论： ①存在常数a，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数b，对任意的