精品解析：上海市实验学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

上海实验学校高二期中考试数学试卷 2023.04 一.填空题（每题4分，共40分） 1. 过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________. 2. 若，求圆心坐标为___________. 3. 椭圆的焦距是______. 4. 双曲线两条渐近线夹角为________． 5. 已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______. 6. 若原点到直线：的距离为4，则的值是______. 7. 已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得弦长为__ 8. 设是椭圆两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是___________． 9. 已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______. 10. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 二.选择题（每题4分，共16分） 11. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，延长 交椭圆于点，若△为等腰三角形，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 三.解答题（本大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值. 16. 如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为r的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设Q为圆心C与P连线与路面的交点． （1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？ （2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段上，求的最大值． 17. 设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点. (Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积; (Ⅱ)若直线斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由. 18. 设，椭圆：与双曲线：的焦点相同． （1）求椭圆与双曲线的方程； （2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值； （3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围． 四.附加题（共20分） 19. 如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为. （1）当点坐标为(0，-2)时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线 恒过定点； （3）求四边形面积的取值范围. 20. 如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，. （1）求双曲线的方程； （2）当时，求的取值范围； （3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海实验学校高二期中考试数学试卷 2023.04 一.填空题（每题4分，共40分） 1. 过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得. 【详解】在所求直线上任取一点,则所求直线的方向向量为, 再根据直线的方向向量与法向量垂直可得, , 即. 故答案为: . 【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题. 2. 若，求圆心坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得出答案. 【详解】解：由，可得圆的标准方程为， 所以圆心坐标为. 故答案为：. 3. 椭圆的焦距是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据椭圆中，，的数量关系求解． 【详解】解：椭圆的焦距是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了椭圆中，，的数量关系，属于基础题． 4. 双曲线的两条渐近线夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出渐近线的夹角． 【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，