聚焦立体几何的核心考查-【小题狂刷】2023高考数学立体几何与选修系列专题特训

数学·立体几何与选修系列 1 聚焦立体几何的核心考查 高考对空间想像能力的考查集中体现在立体几何 试题上,着重考查空间中点、线、面位置关系的判断及 空间角等几何量的计算,既有选择题、填空题,也有解 答题.一般来说,选择题、填空题大多考查概念辨析,位 置关系探究,空间几何量的简单计算求解等,考查画 图、识图、用图的能力;解答题多以简单几何体为载体, 考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关 系,综合考查空间想像能力、推理论证能力和运算求解 能力,试题在突出对空间想像能力考查的同时,关注对 平行、垂直的探究,关注对条件和结论不完备情形下开 放性问题的探究. 考点1 空间几何体的结构、三视图、直观图 柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征、三视 图、直观图在近年的高考中是年年必有,且三视图是出 题的热点,题型多以选择题、填空题为主,有时也出现 在解答题里. 【例1】 一个几何体的三视图形状都相同、大小 均相等,那么这个几何体不可以是 ( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 【解析】 球的三视图全是圆;如图正方体截出的 三棱锥三视图全是等腰直角三角形;正方体的三视图 可以都是正方形.因此排除A、B、C,故选D. 【点评】 对于简单几何体的组合体的三视图,首 先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体 由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意 它们的交线的位置. 考点2 空间几何体的表面积和体积 对简单组合体的三视图问题,先看俯视图确定底 面的形状,根据正(主)视图和侧(左)视图,确定组合体 的形状,再根据“长对正,宽相等,高平齐”的法则确定 组合体中的各个量. 【例2】 某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的表面积为 ( ) A.180 B.200 C.220 D.240 【解析】 由三视图知该几何体是如图所示的四棱 柱ABCD-A1B1C1D1. S四边形ABB1A1=2×10=20, S四边形DCC1D1=(3+2+3)×10=80, S四边形ABCD=S四边形A1B1C1D1= 1 2× (2+8)×4=20, S四边形AA1D1D=S四边形BB1C1C=10×5=50, 所以表面积S=20+80+2×20+2×50=240. 【答案】 D 【点评】 结合三视图考查几何体的表面积是高考 的热点,解决此类问题的关键是正确地观察三视图,把 它还原为直观图,特别要注意从三视图中得到几何体 的相关量,再结合表面积公式求解. 考点3 点、线、面的位置关系 在立体几何的平行关系问题中,“中点”是经常使 用的一个特殊点,无论是试题本身的已知条件,还是在 具体的解题中,通过找“中点”,连“中点”,即可出现平 行线,而线线平行是平行关系的根本.在垂直关系的证 明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图 形通过计算的方式证明线线垂直,也可以根据已知的 垂直关系证明线线垂直,其中要特别重视两个平面垂 直的性质定理,这个定理已知的是两个平面垂直,结论 是线面垂直.点到平面的距离可转化为几何体的体积 问题,借助等积法来解决. 【例3】 如图,A,B,C,D 为空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2,等边三角形ADB 以AB 为 轴转动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求线段CD 的 长; (2)当△ADB 转动时,是否总有AB⊥CD? 证明 你的结论. 解:(1)取AB 的中点E,连接DE,CE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 小题狂刷 高考专题特训 2 因为△ADB 是等边三角形, 所以DE⊥AB. 因为平面ADB⊥平面ABC,且平面ADB∩平面 ABC=AB, 所以DE⊥平面ABC. 所以DE⊥CE. 由已知,得DE= 3,CE=1. 所以在Rt△DEC 中,CD= DE2+CE2=2. (2)当△ADB 转动时,总有AB⊥CD. 下面证明: ①当点D 在平面ABC 内时, 因为AC=BC,AD=BD, 所以C,D 都在线段AB 的垂直平分线上,且点 C,D 不重合, 所以AB⊥CD. ②当点D 不在平面ABC 内时, 易知AB⊥DE,AB⊥CE. 因为DE∩C