湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三下学期5月模拟联考数学试题

鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023年五月模拟考 高三数学试卷 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ） A. 9 B. 1 C. D. 3. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，为BC的中点，米，米，则彩虹（）的长度约为（ ）（参考数据：，） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 现有一个底面边长为，侧棱长为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的球面上．将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时两球表面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面EFG B. 直线和平面所成的角为定值 C. 异面直线和所成的角不为定值 D. 若直线平面EFG，则点为线段的中点 10. 已知，，，，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. C. 过点作，垂足为，则 D. 四边形面积的最小值为 12. 已知函数，记最小值为，下列说法正确的是（ ） A. 对任意的正整数n，的图象都关于直线对称 B. C. D. 设，为的前项和，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则________． 14. 已知直线与圆相交于A、B两点．若为直角三角形，则的值为________． 15. 已知函数，直线，是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是________． 16. 已知椭圆，A，B是椭圆上的两点，且直线OA，OB的斜率满足，延长OA到点，使得，且直线MB交椭圆于点，设，则________；________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，，求． 18. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列满足，求证：． 19. 如图，在三棱台中，，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 20. 2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）. （1）若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率； （2）求使取得最大值的整数. 21. 已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过上一点作曲线的两条切线，为切点