压轴题16圆与相似三角函数的计算与证明问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练 16圆与相似三角函数的计算与证明问题 例1．（2023•利辛县模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G． （1）求证：∠A＝∠BFG；（2）求FG的长． 例2．（2023•金牛区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，点E是边AC的中点，直线ED、BC交于点F． （1）求证：直线DE是圆O的切线；（2）若BC＝6，，求线段BF的长度． 例3．（2023•工业园区校级模拟）如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E，交△ABC的外接圆于点D、边BC的中点为M． （1）求证：MD垂直BC；（2）若AC＝5，BC＝6，AB＝7．求的值； （3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P'重合，则tan∠BAC＝　 　． 例4．（2023•宁波一模）如图1，AC为▱ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E，连结BE． （1）求证：∠BAC＝∠ABE． （2）如图2，当AB＝AC时，连结OA、OB，延长AO交BE于点G，求证△GOB∽△GBA． （3）如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，连结AE、OF． ①求证：BG2﹣GF2＝GF•EF． ②当时，求sin∠EAG的值． 1．（2023•碑林区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使，连接DE作射线CE交AB边于点F． （1）求证：∠A＝∠ACF； （2）若AC＝8，，求BF及DE的长． 2．（2023•新抚区三模）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，且，求EH的长． 3．（2023•达州一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2＝AB•AF． 4．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC． （1）在AC上取点E，使得AD2＝AB•AE（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接EO、OD，若∠BAC＝60°，求sin∠DEO的值． 5．（2023•长春一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AD：AO＝5：3，BC＝4，则BD的长为 　 　． 6．（2023•雁塔区校级四模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF． （1）求证：BD＝BE； （2）若DE＝2，，求AE的长． 7．（2023•碑林区校级四模）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AC＝AB，连接CB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接BE交⊙O于点F，连接AD，CF，DF，AF． （1）求证：CE2＝EF•EB； （2）若DF＝1，求AF的长． 8．（2023春•江宁区校级月考）我们知道，对于线段a，b，c，如果a2＝b•c，那么线段a叫做线段b和c的比例中项． （1）如图1，直线l与⊙O相切于点A，B是l上一点，连接OB，C是OB上一点．若⊙O的半径r是OB与OC的比例中项，请用直尺和圆规作出点C．（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，A是⊙O1外一点，以O1A为直径的⊙O2交⊙O1于点B，C，O1A与BC交于点D，E为直线BC上一点（点E不与点B，C，D重合），作直线O1E，与⊙O2交于点F．若⊙O1的半径是r，求证：r是O1E与O1F的比例中项． 9．（2023•历城区一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点G． （1）求证：AE⊥EF； （2）若，⊙O的半径为2，求BF的长． 10．（2023•崂山区一模）【问题提出】如图1，△ABC为⊙O内接三角形，已知BC＝a，圆的半径为R，探究a，R，sin∠A之间的关系． 【解决问题】如图2，若∠A为锐角，连接BO并延长交⊙O于点D，连接D