第13讲 对数与对数函数-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第13讲 对数与对数函数 1、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域： 值域： 图象过定点 ，即恒有loga1＝0 当x>1时，恒有 当0<x<1时，恒有 当x>1时，恒有 ； 当0<x<1时，恒有 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 注 意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 2、反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称． 对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1、【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 2、【2021年新高考2卷】已知，，，则下列判断正确的是（       ） A． B． C． D． 3、【2022年全国甲卷】已知，则（       ） A． B． C． D． 4、【2021年乙卷理科】设，，．则（       ） A． B． C． D． 5、【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 6、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 1、函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为( ) A. 　　　 B. C. 　　　　 D. 2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　) 3、函数y＝loga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ． 4、已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 5、函数f(x)＝log2(2x＋1)的单调增区间为________． 考向一　对数函数的运算 例1　化简下列各式： (1) ÷； (2) log225×log34×log59； (3) lg －lg ＋lg . 变式1、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（       ）（参考数据：，） A． B． C． D． 方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行． 考向二　对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． （2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________． （3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________． 变式1、（1）（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数，，则的值为（       ） A．1 B．0 C． D． （2）（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（       ） A． B． C． D． 变式2、（1）（2022·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（       ） A． B． C． D． （2）（2022·湖南·长郡中学一模）已知，，，则下列关系正确的是 （       ） A． B． C． D． 方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等． (1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较． (2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进