压轴题15圆的切线的有关计算与证明问题-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题15切线的有关计算与证明问题 例1．（2023•白塔区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，∠BDC＝∠A，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：CD与⊙O相切： （2）若CE＝6，DE＝3，求AD的长． 例2．（2023•文山市一模）如图，AB＝BC，以BC为直径的⊙O，与AC交于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若GF＝3，GB＝5，求⊙O的半径． 例3．（2023•武侯区模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF＝∠ACD，DF交CA的延长线于点F． （1）求证：DF 是⊙O的切线； （2）若DF∥AB，，DE，求⊙O的半径． 例4．（2023•文山州一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为点P，点E是线段AB上的动点． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 1．（2023•南明区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F． （1）求证：BC∥EF； （2）求证：EF是⊙O的切线； （3）若BF＝10，OB＝15，求证：AE＝2BE． 2．（2023•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC与⊙O相交于点E． （1）证明：CD与⊙O相切； （2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长． 3．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E． （1）求证：∠CEB＝∠ABD+∠CDB； （2）如图2，连接OE、AD，若OE∥AD，且AB＝10，BD＝8，求BC的长． 4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E． （1）求证：DE＝AE； （2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度． 5．（2023•韩城市一模）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的直径，垂足为O，E为上一点，连接AE交CD于点M，过点E作⊙O的切线，分别交DC、AB的延长线于F、G． （1）求证：EF＝MF； （2）若⊙O的半径为6，FE＝8，求AM的长． 6．（2023•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，在BC边上取一点F，连接FD，使得DF＝BF． （1）求证：DF为半圆O的切线； （2）若AC＝6，BC＝4，CF＝1，求半圆O的半径长． 7．（2023•靖江市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点D，AE⊥BO交BO延长线于点E． （1）求证：∠EOA＝∠EAB． （2）若，求OC的长． 8．（2023•河北区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，∠ABC＝30°． （Ⅰ）如图①，若点E是弧BD的中点，求∠BAE的大小； （Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的延长线于点F，若DG∥CF交A于点G，AB＝8，求AF的长． 9．（2023•武汉模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，BC与AD相交于点F． （1）求证：DE＝DB； （2）若∠ACB＝60°，AB＝3，BD＝2，求的值． 10．（2023•市南区一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上． （1）EB是⊙O的切线吗？为什么？ （2）若，则∠DBC的度数为 　 　°． 11．（2023•范县一模）如图，⊙O的直径为AB，AP为⊙O的切线，F是AP上一点，过点F的直线与⊙O交于C，D两点，与AB交于点E，AC＝CE． （1）求证：AC＝CF； （2）若 ，AD＝4，求BE的长． ​ 12．（2023•城关区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径． 13．（2023•莱芜区一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙