专题12 二次函数与几何图形的综合问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题12：二次函数与几何图形的综合问题 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题 【题型二】 二次函数与角度数量关系问题 【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题 【题型四】 二次函数与特殊三角形问题 【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题 【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题 【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题 二、最新模考题组练 【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题 【典例分析】 1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点为二次函数的图象与轴的交点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为二次函数图象上的一点，且，求点的坐标． 【提分秘籍】 对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是： ①弄清其取值范围，画出符合条件的图形； ②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形； ③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性. ④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决. 【变式演练】 1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求的面积最大值． 2．如图，抛物线与x轴交于两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？ (3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M． （1）求抛物线的函数关系式． （2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值． 【题型二】 二次函数与角度数量关系问题 【典例分析】 1．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 【提分秘籍】 探究两个角相等的方法： ①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标； ②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标. 【变式演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴相交于点，且经过，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设为轴下方抛物线上一点，为对称轴上一点，为该抛物线对称轴与轴交点，若，求点的坐标． 【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题 【典例分析】 1．如图，已知经过，两点的抛物线与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式及点的坐标； (2)若线段上有一动点不与、重合，过点作轴交抛物线于点．求当线段的长度最大时点M的坐标； 【提分秘籍】 探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法： ①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系； ②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax²+bx+c上点的坐标为(x，ax²+bx+c)；双曲线y=上的点的坐标为y=（x，） ③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=。 ④求线段的数量关系时(或者求线段的最值时),可用三角形全等、相似或