复合函数与图象的对应问题讲义-2023届高三数学专项复习

复合函数与图象的对应问题 1.判断函数解析式对应的图象 例1：函数的部分图象可能是（    ）判断函数解析式对应的图象问题，一般思考步骤如下： （1）奇偶性。先确定已知函数的奇偶性，可以对选项作第一波排除，奇偶性是最方便判断函数图象的特征之一，有些复杂的函数是用多个基本函数相乘形成的，有些是相加形成的，因此注意：奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇×奇=偶、奇×偶=奇、偶×偶=偶这些规律，同时注意奇+偶没有结果，注意定义域范围等； （2）特殊值。在判断时，特殊值也可以排除一些选项。比如有时候x=0无意义、取x=1或-1时点的位置、或者求图象与x轴的交点位置、交点个数等； （3）单调性。当（1）、（2）两点无法最终排除其他选项时，需要再利用增减性等方式进一步判断，这时候基本就是二选一的情况，选取一段图象有区别的区间，判断单调性即可。判断单调性也可以通过两种方式：复合函数的单调性叠加法和求导法； （4）若以上方式也无法完全判断出来问题，还可以利用以下方式： ①最大最小值趋势，很多函数可以通过x取非常大的值来判断最终是无限大、无限小，还是趋向于某个特定值； ②函数与x轴、y轴交点情况； ③函数的极值点和最值点； ④伪周期性，有些函数虽然没有周期性、但是极值点、交点可能有周期性，所以可以通过判断这些确定。 A． B．   C．   D． 【详解】解：因为定义域为 且 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故A、C排除； 又因为，所以D排除； 故选：B 例2：函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【详解】易知函数为非奇非偶函数，可排除B，C选项；当时，，可排除选项D.故选：A. 例3：函数的图象大致为（    ） A． B．C．D． 【详解】由，可得，则定义域为， 则， ， 则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD； 又，则排除选项B，正确选项为A. 故选：A 例:4：函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，， 所以是奇函数，排除A，B； 又，，故，排除C.本例比较特殊，本例需要判断的函数图象是已知函数的复合型函数，可以通过以下方式判断： （1）通过已知函数的正负值判断，f（x）是先正后负再正，g（x）是x小于0时为正，x大于0为负，两者相乘结果为：先正、后负、再正、再负，x=0不可取；选B； （2）通过函数趋势去判断，从两个函数相乘去判断积的结果，在x从﹣∞到0时，y趋向于﹣∞；在x从﹢∞到0时，y趋向于﹢∞. （3）特殊函数法判断，可以设f（x）为二次函数，g（x）为反比例函数，相乘后即可得到y的表达式，从而判断。 故选：D． 2.复合函数的图象 例5：已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由图知，的定义域为，令时，或， 由为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，关于原点对称， 对A，当时，，，所以，故A错误； 对B，由图知，当时，，当时， 结合奇函数的对称性可得时的图象，故B正确； 对C，由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误； 对D，由选项A和B的分析知，当时，，故D错误. 故选：B.通过图象判断对应的函数解析式时，要学会抓住图象的特点，主要特点包括： （1）奇偶性。通过确定图象的奇偶性，排除选项中不符合的解析式； （2）特殊值。①关注图象与x、y轴的交点，代入解析式即可排除部分选项；②关注x取值范围，尤其是x取值无意义的点，可以帮助排除； （3）对称性和周期性。这两个点如果图象中有表现，也可以用来判断； （4）单调性。 3.通过图象去判断可能满足条件的函数解析式 例6：已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【详解】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足，为奇函数，排除D； 又选项C中函数满足，与图象不符，排除C； 选项A中函数满足，与图象不符，排除A， 只有B可选． 故选：B． 本例判断的难点在于图象没有我们熟知的基本性质，只有明显的交点、单调性以及极值点可利用，因此很多时候判断图象特征，这三个要素也非常重要。另：本题必然需要利用求导判断，因为选项都是需要求导的函数解析式。 例7：已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R. A：，函数的定义域为，所以A不符题意； B：，函数的定义域为，所以B不符题意； C：当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减，所以是函数的极大值， 结合图形，不是极大值，故C不符题意； D：当时，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减，结合图形，D符合题意； 故选：D． 例8：