2023年九年级数学中考16讲第十六讲二次函数各类型压轴题探究

第十六讲 二次函数各类型压轴题探究 目录 综合引例： 1 跟踪练习： 5 类型一：线段问题探究 5 类型二：图形面积问题探究 6 类型三：相似三角形存在性问题探究 7 类型四：特殊四边形存在性问题探究 7 类型五：特殊三角形存在性问题探究 9 类型六：二次函数与圆综合探究 10 类型七：二次函数中的参数范围问题探究 12 综合引例： 题目：在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C.求这个二次函数的表达式. 变形一：线段问题探究： 1.点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN||y轴交直线AC于点N，当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值，并求出其最大值. 2.点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN||y轴交直线AC于点N，作ME⊥AC于点E，当点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值，并求出其最大值. 解题策略点拨： （1） 解决线段最值问题首先考虑所求线段是否为水平或者是竖直线段，若是，可设线段端点坐标，建立二次函数进行求解；若不是，可运用三角函数将倾斜线段转化成水平或者竖直线段，然后再设线段端点坐标，建立二次函数求解。 （2） 大部分二次函数中的三角形周长最值问题，可观察三边是否存在一边为水平或者是竖直线段，将另外两边运用三角函数转化成该水平（竖直）边，然后再设线段端点坐标，建立二次函数求解。 变形二：图形面积问题探究 3.点P为直线AC上方抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解题策略点拨： 以定边为底，转化成求高最长。以与底边平行的直线与抛物线相切（直线与抛物线联立得一元二次方程，Δ=0），切点即为所求。 4.点Q为直线AC下方抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ=10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解题策略点拨： 以定边为底，转化成求高的定值。以与底边平行的直线与定底之间的距离即为所求高。 变形三：特殊三角形存在性问题探究 5.在平面直角坐标中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解题策略点拨： 确定等腰直角三角形的直角位置，构造“k”形全等可求。 6.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解题策略点拨： 确定等腰三角形的顶点，以此进行分类讨论，分为两类： 1. 顶点固定： （1） B为顶点，以B为圆心，BC长为半径画圆，与对称轴的交点为Q点； （2） C为顶点，以C为圆心，BC长为半径画圆，与对称轴的交点为Q点； 2. 顶点不固定。 Q为顶点（位置不确定），作底边BC的垂直平分线，与对称轴的交点为Q点。 7.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解题策略点拨： 确定直角三角形的直角位置，以此进行分类讨论，分为三类：（1）A为直角顶点；（2）C为直角顶点；（3）Q为直角顶点。统一求点坐标方法为构造“k”形相似。 变形四：几何最值型问题探究 8.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标与周长最小值；若不存在，请说明理由。 9.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QA-QC|最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 10.若D为OC的中点，P是抛物线对称轴上一动点，Q是x轴上一动点，当P，Q两点的坐标为多少时，四边形CPQD的周长最小？并直接写出四边形CPQD周长的最小值。 解题策略点拨： 此为将军饮马问题，可参看第11讲。 变形五：相似三角形存在性问题探究 11.点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解题策略点拨： 顶点的不同对应，动三角形有定角90°，故顶点E与顶点O对应，此处有两类对应：△BEQ∽△AOC，△QEB∽△AOC。 变形六：特殊四边形存在性问题探究 12. 点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解题策略点拨： 确定定线段，此处为AC，以此进行分类讨论： 1. AC为平行四边形的边 （1） 平移AC与MQ重合，A与M重合，C与Q重合，此两对边处构造全等直角三角形 （2） 平移AC与MQ重合，A与Q重合，C与M重合，平移AC与MQ重合，A与M重合，C与Q重合，此两对边处构造全等直角三角形 2. AC为平行四边形的对角线 利用对角线互相平分找懂点。 跟踪练习： 类型一：线段问题探究 1.如图