押江苏卷10 圆的综合问题（垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形、外/内接圆与外心、切线的证明与性质、圆锥的计算）-备战2023年中考数学临考题号押题（江苏专用）

圆综合 1、垂径定理； 2、圆周角定理； 3、圆内接四边形； 4、外接圆与外心； 5、切线的证明与性质； 6、内切圆与内心； 7、圆锥的计算 1、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图所示： ∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB，. 若一条直线具有以下两个性质：①过圆心；②垂直一条弦；则这条直线具有以下三个性质：①平分弦；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧. 圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距. 2.圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. （1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交； （2）圆周角与圆心角的异同 ①圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处； ②在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个； ③圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交. （3）圆周角定理及圆周角定理的推论 ①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补； ④直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径； ⑤相等的圆周角所对的弧相等. 3.圆内接四边形 （1）圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆； （2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 4.外接圆与外心 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 是△ABC的外接圆，△ABC为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. （1）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示： （2）一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； （3）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等. 5.切线的证明与性质 （1）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线. 判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： ①定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； ②数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； ③判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l. 6.内切圆与内心 （1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. （2）性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部. （3）三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 补充：三角形外心与内心对比： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心（三角形外接圆的圆心，三角形三边中垂线的交点） 到三角形三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形的内部 ∠BOC＝2∠A 内心（三角形内切圆的圆心，三角形三条内角平分线的交点） 到三角形三边距离相等 内心一定在三角形的内部 ∠BOC＝90°＋∠A 7.圆锥的计算 （1）圆锥的侧面展开图 ①母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线； ②把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长. 如图所示，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为. 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. （2）圆锥的侧面积 若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积公式为. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，. 1．（2022•无锡）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，BC是⊙O的切线，D是AC的中点，OD＝2，则AC的值为（　　） A．10 B．8 C． D． 2．（2022•徐州）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 　　． 3．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC，则⊙O的半径是 　　． 4．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE． （1）求直径BD的长； （2）若BE＝5，计