专题09 三角函数换元为普通函数三角函数模型-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题9 -----三角函数换元为普通函数 【专题导航】 当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可；通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可.这就是本讲涉及到的扫盲内容. 题型一 形如的形式，即与的复合函数 罗师导航 当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可；通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可. 要注意在时自身带范围，即 【典例1-1】求的值域. 【典例1-2】设函数，若，求函数的最小值. 【典例1-3】求函数的值域. 【能力达标训练】 【1-1】已知 ，则( ) A． B． C． D． 【1-2】函数 的最小值和最大值分别为(　　) A． B． C． D． 【1-3】已知，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【1-4】函数的最小值与最大值的和等于（ ） A．-2 B．0 C． D． 【1-5】函数 ()的值域是_______________． 【1-6】函数的最小值是__________． 【1-7】若，则函数的最大值为 ． 【1-8】函数的值域为______. 【1-9】求函数y=2-sinx+cos2x的值域． 【1-10】已知函数在上的最大值为1，求的值． 【1-11】求函数，的最小值． 【1-12】已知函数． （Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若，求的值． 题型二 与共存结构 罗师导航 ，从而将解析式的核心变量转化为，通过换元求出值域即可． . 【例2-1】求函数的值域． 【例2-2】已知函数，且对于任意的，当时都有成立，求实数的取值范围． 【例2-3】已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【能力达标训练】 【2-1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【2-2】如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【2-3】函数的值域为 ． 【2-4】已知函数的最小值为，函数. （1）求a的值； （2）已知时，恒成立，求实数m的取值范围. 【2-5】已知，． (1)若，求a的值； (2)若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 【2-6】已知实数，设函数. (1)当时，求函数f（x）的值域：(2)求|f（x）|的最大值. 【2-7】已知,，函数， （1）若，，求的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【2-8】已知，． 求当时，的值域； 若函数在内有且只有一个零点，求的取值范围． 4 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 -----三角函数换元为普通函数 【专题导航】 当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可；通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可.这就是本讲涉及到的扫盲内容. 题型一 形如的形式，即与的复合函数 罗师导航 当解析式无法化成的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可；通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可. 要注意在时自身带范围，即 【典例1-1】求的值域. 【答案】；【解析】 设 ， ， ，，即的值域为 【典例1-2】设函数，若，求函数的最小值. 【答案】0；【解析】， 设，由可得：，从而 ， ，所以 ，所以最小值为 . 【典例1-3】求函数的值域. 【答案】；【解析】令，可得 ， ，， ， 【能力达标训练】 【1-1】已知 ，则( ) A． B． C． D．