专题2.2 基本不等式及其应用（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题2.2 基本不等式及其应用 【核心素养】 1．通过基本不等式证明过程，进一步了解“差比法”的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．以求函数最值问题为载体，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养． 知识点一 重要不等式 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 知识点二 基本不等式 1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点三 基本不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ 知识点四 常用推论 （1）（） （2）（，）； （3） 常考题型剖析 题型一：利用基本不等式证明不等式 【典例分析】 例1-1.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 例1-2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，证明： (1)； (2)． 【规律方法】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【变式训练】 变式1-1.【多选题】（2023春·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 题型二：“定和”条件下求最值 例2-1.（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（   ） A．12 B．25 C．27 D．36 例2-2.（2023·北京东城·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为______. 例2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值. 【规律方法】 1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值. 2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3．常数代换求解最值应注意的问题 (1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； (2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； (3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．　 【变式训练】 变式2-1.（湖南省多校2022-2023学年高一下学期期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（    ） A． B． C． D． 变式2-2.（2023·广东惠州·统考一模）若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为__________ 题型三：“定积”条件下求最值 【典例分析】 例3-1.【多选题】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例3-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________. 例3-3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________． 【规律方法】 1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值. 2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等． 3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 4.利用基本不等式求最值时，要