专题17 圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略

专题17 圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题 目录 类型一：圆锥曲线的定点问题 1 类型二：圆锥曲线的定值问题 5 类型三：圆锥曲线的定直线问题 9 类型一：圆锥曲线的定点问题满分策略： 直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b来证明． 1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知椭圆的焦点分别别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点， (1)求椭圆的方程； (2)已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点. 2．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为F，且经过点，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当轴时，． (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使成立，证明直线PQ过定点． 3．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N． (1)求椭圆及双曲线的标准方程； (2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2023·新疆·校联考二模）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知过椭圆上一点的切线方程为．设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点F，使得以PQ为直径的圆恒过点F？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由． 5．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴和轴，且双曲线过点，. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，点满足.证明：直线过定点. 6．（2023·山东济宁·统考二模）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为． (1)求该双曲线的方程； (2)若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点. 7．（2023·山东聊城·统考二模）已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直． (1)证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值； (2)已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（2023·湖北武汉·统考二模）过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标． 9．（2023·全国·模拟预测）已知平面内一动点到点的距离比到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率互为倒数的两条直线分别与曲线交于点，和点，，记线段和线段的中点分别为，，证明：直线过定点. 10．（2023·四川宜宾·统考三模）已知点A在y轴右侧，点B，点C的坐标分别为，，直线AB，AC的斜率之积是3. (1)求点A的轨迹D的方程； (2)若抛物线与点A的轨迹D交于E，F两点，过B作于H，是否存在定点G使为常数？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由. 11．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)过点Q作直线l交C于A，B两点，O为原点，过点A作x轴的垂线，分别与直线，交于点D，E，从下面①②两个问题中选择一个作答． ①问：是否为定值，并说明理由； ②问：在直线上是否存在点M，使四边形为平行四边形，并说明理由． 12．（2023·辽宁鞍山·统考二模）抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 类型二：圆锥曲线的定值问题满分策略： 求定值问题常见类型以及解题策略： (1)常见类型： ①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式后再化简，即可得出定值； ②证明