专题14 数列的五种求和方法和数列不等式问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略

专题14 数列的五种求和方法和数列不等式问题 目录 类型一：倒序相加法求和 1 类型二：错位相加法求和 3 类型三：裂项相消法求和 6 类型四：分组法求和 9 类型五：数列的其他求和方法 11 类型六：数列不等式问题 14 类型一：倒序相加法求和 典型例题：设函数，设，．求数列的通项公式． 【答案】 试题分析：通过，将已知倒序相加得出的式子，注意是否满足即可. 详细解答：； 时，， ， 相加得 ， 所以，又， 所以对一切正整数，有； 题型专练： 多选题 1．（2023·山西晋中·统考二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（    ） A．一定有两个极值点 B．函数在R上单调递增 C．过点可以作曲线的2条切线 D．当时， 2．（2022·全国·校联考模拟预测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值点为 B．有且仅有3个零点 C．点是的对称中心 D． 单选题 3．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等．已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 4．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）函数，其中，记，则（    ） A． B． C． D． 填空题 5．（2023·广西玉林·统考三模）已知函数，若函数，数列为等差数列，，则______． 6．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）设函数，，．则数列的前n项和______． 7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 8．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______. 类型二：错位相加法求和 典型例题：已知等比数列的前n项和为，其中，且. (1)求数列的通项公式以及前n项和； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 试题分析： (1)由求出，再由求出,即可代入等比数列的通项公式和前项和公式求解. (2)把(1)求出的代入得到的通项公式，再用错位相减法即可求前项和. 详细解答： （1）记等比数列的公比为q，显然，否则； 故，解得， 故， 则，； （2）依题意，； 故， 故， 两式相减可得， ， 则. 题型专练： 单选题 9．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为(    ). A． B． C．1011 D．2022 10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知数列的首项为，，则数列的前2023项和为（    ） A． B． C． D． 填空题 11．（2023·江西鹰潭·二模）已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和________. 解答题 12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，且，求数列的通项公式． 13．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为2，数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 14．（2023·安徽合肥·二模）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 15．（2023·江西上饶·统考二模）设数列满足. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．数列的前项积为，且满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的前项和． 17．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，正项数列满足，且． (1)求和的通项公式； (2)若数列的前n项和为，集合共有两个子集，求实数k的取值范围． 七、3单选题( 18．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列的首项为,数列的前项和小于实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，记的前n项和为，若，其中表示不超过x的最大整数值，则的值域为（