精品解析：北京市东城区2023届高三二模数学试题

北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2023.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. ⫋ B. C. D. 2. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列中，，，为其前项和，则（ ） A B. C. D. 4. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为 （ ） A B. C. D. 6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “ ”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的值共有（ ） A. 个 B. 2个 C. 个 D. 无数个 10. 设，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量满足，与的夹角为，则______;______ 12. 函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为_______； _______． 13. 若，则实数的一个取值为__________. 14. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 15. 定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论： ①若为递增数列，则存在最大值； ②若递增数列，则存在最小值； ③若，且存在最小值，则存在最小值； ④若，且存在最大值，则存在最大值. 其中所有错误结论的序号有_______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中,. （1）求; （2）若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 17. 如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点. （1）设为的中点，求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）： 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83 90 75 95 93 61 76 （1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； （2）设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下： （i）求的分布列和数学期望； （ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明） 19. 已知焦点为抛物线经过点． （1）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积； （2）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值； （3）设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由. 21. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）. （1）若，求及； （2）若，求证：互不相同； （3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 2023.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在