第8章 第44讲　第2课时　圆锥曲线中的最值与范围问题-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 第44讲　圆锥曲线的综合问题 第2课时　圆锥曲线中的最值与范围问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 研题型·融会贯通 2 1 圆锥曲线中的最值问题 举题说法 研题型 · 融会贯通 (2) 设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB的面积最大时直线l的方程． 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 圆锥曲线中的最值问题的解决方法： 一是几何法，用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问 题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 2 圆锥曲线中的范围问题 (1) 求椭圆C的标准方程； 研题型 · 融会贯通 (2) 设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围． 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 (1) 求双曲线C的方程； 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 随堂内化 研题型 · 融会贯通 (2) 设线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 【解答】当直线l的斜率不存在时，易知点M到y轴的距离为2. 研题型 · 融会贯通 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 融会贯通 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 例1　(2022·淄博一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上． (1) 求椭圆E的标准方程； 【解答】 因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2,0)，由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，得a＝，所以b＝＝，因此，椭圆E的标准方程为＋＝1. 【解答】 由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)，联立消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0, Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0，由韦达定理可得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2|＝2＝2＝. 令t＝>1，则S△F1AB＝＝≤＝2，当且仅当t＝，即m＝±1时，等号成立，此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 变式 　(2023·杭州期中节选)已知M是椭圆＋＝1的左顶点，过M作两条射线，分别交椭圆于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，交直线x＝4于点C(4，y3)，D(4，y4)．若∠AMB＝45°，求|CD|的最小值．(提示：用斜率结合两角和的正切公式表示∠AMB) 【解答】 如图，M(－2,0)，根据对称性，设y3≥0, kAM＝tan∠AMO＝，kBM＝－tan∠BMO＝. (变式) 因为tan∠AMB＝tan(∠AMO＋∠BMO)＝＝，当∠AMB＝45°时，＝1，化简得6(y3－y4)＝36＋y3y4，即y4＝， 所以|CD|＝y3－y4＝y3－＝y3＋6＋－12≥2－12＝12(－1)， 当且仅当y3＋6＝，即y3＝6(－1)时等号成立，所以|CD|的最小值为12(－1)． 例2　(2022·广州三模) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点． 【解答】 由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1①，又点P在椭圆C上，所以＋＝1②，由①②可知a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 【解答】 设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0. 因为Δ＝16(12k2－3)＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为∠AOB为锐角，所以·>0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，即(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜. 又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜，所以直线l的斜率k的取值范围为∪. 1.(2022·盐城三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． 【解答】 由题知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，且渐近线方程为y＝±x，所以解得所以双曲线C的方程为－y2＝1. 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y