第十章 第3节 几何概型-【创新教程】2024高考文科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(文)第3节　几何概型 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义. 1.与长度、角度有关的几何概型，达成直观想象和数学建模的素养． 2．与面积有关的几何概型，增强直观想象、数学建模、数学运算的素养． 3．与体积有关的几何概型，增强直观想象、数学建模、数学运算的素养. 　　2024年的高考预计以考查长度型、面积型的几何概型为主．一般以选择题、填空题的形式出现，属于基本题型，难度不大. [要点梳理] 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的　长度　(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有　无限多个　； (2)等可能性：每个结果的发生具有　等可能性　. 3．几何概型的概率公式 P(A)＝　　. 　几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题． [自主诊断] ◆[思考辨析] 判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　 ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　 ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　 ) (4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．(　　 ) (5)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　　 ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× ◆[教材改编] 1．[P137思考]在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D．1 解析：B　[坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.] 2．(P140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　 ) 解析：A　[∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝， P(D)＝，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．] ◆[小题纠偏] 1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.故选B.] 2．(高考全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为＝.故选B.] 3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为　________　. 解析：如图，与点O距离不大于1的点的轨迹是一个半球，其体积V1＝×π×13＝.事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率p＝＝1－. 答案：1－ 考点一　与长度、角度有关的几何概型(自主练透) [题组集训] 1．某公司的班车在7：30，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p＝＝.故选B.] 2．(2023·全国乙卷(文)，7)在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由题意可知，本题是几何概型，P＝＝.] 3．(20