第七章 核心素养系列4. 立体几何高考中档大题的热点问题-【创新教程】2024高考文科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

4.(文科)立体几何高考中档大题的热点问题 通过近三年的高考命题可以发现，高考对本部分内容的命题主要集中在空间线面平行关系、垂直关系的证明以及几何体体积的计算等问题，考题设置通常是先证明后计算，题型有折叠问题和探索性问题，主要考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及语言表达能力，难度中等． ●[热点1]　平行、垂直的证明与体积的计算　 [典例1]　(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； (2)设O为△A1B1C1的中心，若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B－EB1C1F的体积． ►[规范解答] [解]　(1)因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1，又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN. 因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面A1AMN，故B1C1⊥平面A1AMN.又BC1⊂平面EB1C1F. 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F. (2)AO∥平面EB1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN.又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，因为等边三角形ABC，等边△A1B1C1的边长为6，所以AM＝A1N＝6sin 60°＝3，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝AM＝，PM＝AM＝2， EF＝BC＝2. 因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B－EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离． 作MT⊥PN，垂足为T，则由(1)知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin∠MPN＝3. 底面EB1C1F的面积为 ×(B1C1＋EF)×PN＝(6＋2)×6＝24. 所以四棱锥B－EB1C1F的体积为×24×3＝24. 第一步：由线面垂直的性质，得B1C⊥OA. 第二步：根据线面、面面垂直的判定定理，得平面AB1C⊥平面BB1C1C. 第三步：由体积公式计算底面菱形的边长． 第四步：计算各个侧面三角形的面积，得出结论． 第五步：查看关键点，检验反思，规范步骤． [答题启示] 以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等． ◆[跟踪训练] 1.如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)证明：直线BC∥平面PAD； (2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积． 解：(1)证明：在平面ABCD内， 因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD. 又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BC∥平面PAD. (2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM. 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x. 取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD， 所以PN＝x. 因为△PCD的面积为2， 所以×x×x＝2， 解得x＝－2(舍去)或x＝2. 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 所以四棱锥P－ABCD的体积 V＝××2＝4. ●[热点2]　平面图形的翻折问题　 [典例2]　图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的四边形ACGD的面积． [解]　(1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE，BC⊂平面BCGE，故AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)取CG的中点M，连接EM，DM. 因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG， 由已知，四边形BCGE是菱形，且