第九章 第4节 变量间的相关关系与统计案例-【创新教程】2024高考文科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第4节　变量间的相关关系与统计案例 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 1.相关关系的判断，达成直观想象和数据分析的素养． 2．回归方程的求法及回归分析，增强逻辑推理、数据分析和数学运算的素养． 3．独立性检验，增强逻辑推理、数据分析和数学运算的素养. 　　预计2024年的高考将以选择题、填空题的形式考查线性回归系数或利用线性回归方程进行预测；在给出临界值的情况下判断两个变量是否相关；在解答题中与频率分布相结合，考察线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用，难度中等. [要点梳理] 1．相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是　散点图　；统计量有相关系数与相关指数． (1)在散点图中，点散布在从　左下角　到　右上角　的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从　左上角　到　右下角　的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在　一条直线　附近，称两个变量具有线性相关关系． 2．线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的　距离的平方和　最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则＝＝，＝－.其中，是回归方程的　斜率　，是在y轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(，)． 3．残差分析 (1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为ei＝yi－i＝yi－xi－，i＝1,2，…，n.i称为相应于点(xi，yi)的残差． (2)相关指数：R2＝　1－　.其中(yi－i)2 是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好． 4．独立性检验 (1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量　有关系　”的方法称为独立性检验． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b 　a＋b　 x2 c d c＋d 总计 a＋c 　b＋d　 a＋b＋c＋d 　则随机变量K2＝　　，其中n＝　a＋b＋c＋d　为样本容量． (3)步骤如下 ①计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0： P(K2≥k0) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”． 1．相关关系与函数关系的异同 共同点：二者都是指两个变量间的关系； 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．相关系数r＝，当r＞0时，两变量正相关，当r＜0时，两变量负相关，当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度越低． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(　　 ) (2)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示(　　 ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(　　) (4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．(　　 ) (5)任何一组数据都对应着一个回归直线方程．(　　 ) (6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× ◆[教材改编] 1．[选修2－3P97练习改编]下面是2×2列