第二章 第13节 第3课时 利用导数研究函数的零点问题-【创新教程】2024高考文科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第3课时　利用导数研究函数的零点问题 考点一　确定函数零点(相应方程根)的个数(师生共研) [典例]　(文科)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围． [解]　(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x. 当x∈时，g′(x)＞0；当x∈时， g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减． 又g(0)＝0，g＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)上存在唯一零点， 所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点． (2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0， 由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减． 又f(0)＝0，f(π)＝0，所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0. 又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax. 因此，a的取值范围是(－∞，0]． [典例]　(理科)(2023·杭州市模拟)已知函数f(x)＝＋aln x(x∈R)． (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数y＝f(x)在区间(0，e2]上的零点个数． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x的导数为 f′(x)＝＋， 可得函数y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率为， 切点为(1,1)，则切线方程为y－1＝(x－1)， 可得3x－2y－1＝0； (2)f(x)＝＋aln x的导数为f′(x)＝＋＝，当a＝0时，f′(x)＞0，f(x)＝在(0，e2]上单调递增，无零点； 当a＞0时，f′(x)＞0，f(x)＝＋aln x在(0，e2]上单调递增，由x→0，f(x)→－∞，f(e2)＞0， 此时f(x)仅有一个零点； 当a≤－，＋2a＜0，可得f(x)在(0，e2]上单调递减，由x→0，f(x)→＋∞，f(e2)＜0， 此时f(x)仅有一个零点； 当－＜a＜0时，f(x)在(0,4a2)上单调递减，(4a2，e2]上单调递增，可得f(x)的最小值为f(4a2)＝－2a＋2aln(－2a)， 可设t＝－2a∈(0，e)，由y＝t－tln t的导数y′＝－ln t，可得0＜t＜1时，函数y＝t－tln t递增，1＜t＜e时，函数y＝t－tln t递减， 可得t＝1时，y＝t－tln t取得极大值1，x＝e，y＝0，可得f(x)＞0恒成立，可得f(x)无零点． 综上可得，－＜a≤0时，f(x)无零点； a＞0或a≤－时，f(x)仅有一个零点． 　　 研究函数f(x)零点的策略 (1)如果函数f(x)在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在． (2)如果函数f(x)在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g(x)的极值与零的大小，以及函数f(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数． ◆[跟踪训练] 　(文科)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞) f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－， 因为在(0，＋∞)上，y＝ln x单调递增，y＝单调递减，所以f′(x)单调递增，又f′(1)＝－1＜0， f′(2)＝ln 2－＝＞0， 故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0. 又当x＜x0时，f′(x)＜0， f(x)单调递减；当x＞x0时， f′(x)＞0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点． (2)由(1)知f(x0)＜f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3＞0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝a. 由a＞x0＞1得＜1＜x0. 又f＝ln－－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根． 综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 　(理科)(2023·武汉市模拟)设函数f(x)＝ex－b(1＋ln x)． (1)证明f(x)的图象过一个定点A，并求f(x)在点A处的切线方程； (2)已知b＞0，讨论f(x)的零点个数． (2)f′(x)＝ex－＝，令g(x)＝xex－b，则g′(x)＝ex(x＋1)＞0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由g(0)＝－b＜0， g(b)＝b(eb－1)＞0， 可得存在唯一x1∈(0，b)，使g(x