第八章 核心素养系列5.平面解析几何中档大题的热点问题-【创新教程】2024高考文科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

5.平面解析几何中档大题的热点问题 圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点． ●[热点1]　直线与圆锥曲线的位置关系　 [典例1]　(2021·天津卷，18)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝. (1)求椭圆的方程； (2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程． [解析]　(1)易知点F(c,0)、 B(0，b)， 故|BF|＝＝a＝， 因为椭圆的离心率为e＝＝， 故c＝2，b＝＝1， 因此，椭圆的方程为＋y2＝1； (2)设点M(x0，y0)为椭圆＋y2＝1上一点， 先证明直线MN的方程为＋y0y＝1， 联立，消去y并整理得x2－2x0x＋x＝0，Δ＝4x－4x＝0， 因此，椭圆＋y2＝1在点M(x0，y0)处的切线方程为＋y0y＝1. 在直线MN的方程中，令x＝0，可得y＝，由题意可知y0＞0，即点N， 直线BF的斜率为kBF＝－＝－，所以，直线PN的方程为y＝2x＋， 在直线PN的方程中，令y＝0，可得x＝－，即点P， 因为MP∥BF，则kMP＝kBF，即＝＝－，整理可得(x0＋5y0)2＝0， 所以，x0＝－5y0，因为＋y＝6y＝1，∴y0＞0， 故y0＝，x0＝－， 所以，直线l的方程为－x＋y＝1， 即x－y＋＝0. [答案]　(1)＋y2＝1；(2)x－y＋＝0 　涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法． ◆[跟踪训练] 1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|. 解：(1)由已知，a＝2b. 又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P， 故＋＝1，解得b2＝1，所以a2＝4. 所以椭圆E的方程是＋y2＝1. (2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组 得x2＋2mx＋2m2－2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)， 由Δ>0，即2－m2>0，解得－<m<. 由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2. 所以M点坐标为，直线OM的方程为 y＝－x， 由方程组得C， D或C，D. 所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m) ＝(2－m2)． 又|MA|·|MB|＝|AB|2＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)，所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|. ●[热点2]　圆锥曲线中的定点、定值问题　 [例2]　(2020·全国Ⅰ卷)已知A、B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． [学/审/题]———————————————► (1)由已知可得：A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，即可求得·＝a2－1，结合已知即可求得：a2＝9，问题得解． (2)设P(6，y0)，可得直线AP的方程为：y＝(x＋3)，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为，同理可得点D的坐标为，当y≠3时，可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：y＝即可知直线过定点，当y＝3时，直线CD：x＝，直线过点，命题得证． [学/规/范]———————————————► [解]　(1)由题意，A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，所以＝(a,1)，＝(a，－1)，·＝a2－1＝8⇒a2＝9⇒a＝3，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)由(1)知A(－3,0)，B(3,0)，设P(6，y0)，则直线PA的方程为y＝(x＋3)， 联立⇒(9＋y)x2＋6yx＋9y－81＝0. 由韦达定理 －3xc＝⇒xc＝，代入直线PA的方程y＝(x＋3)得yc＝， 即C， 直线PB的方程为y＝(x－3)， 联立⇒(1＋y)x2－6yx＋9y－9＝0， 由