第八章 第9节 第2课时 定点、定值、探索性问题-【创新教程】2024高考文科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第2课时　定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定点、定值与探索性问题是高考考查的重点和热点，常利用特殊与一般、方程思想求解． 考点一　定点问题(师生共研) [典例]　(2022·全国乙卷理，20)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [解]　(1)设E的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，将A(0，－2)，B两点代入得(a＞0，b＞0)，解得a2＝3，b2＝4， 故E的方程为＋＝1. (2)由A(0，－2)，B， 可得直线AB：y＝x－2. ①若过P(1，－2)的直线的斜率不存在，直线为x＝1.代入＋＝1，可得M，N，将y＝代入AB：y＝x－2，可得T(＋3，)，由＝，得H.易求得此时直线HN：y＝x－2.所以直线过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立，得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0. 故有， 得， 且x1y2＋x2y1＝(*) 联立，可得T，H(3y1＋6－x1，y1)，可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)，将(0，－2)代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)式代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． 定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． ◆[跟踪训练] 　已知圆x2＋y2＝4经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点和两个顶点，点A(0,4)，M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|. (1)求椭圆C的方程； (2)证明：直线MN过定点． 解：(1)圆x2＋y2＝4与x轴交点(±2,0)即为椭圆的焦点，圆x2＋y2＝4与y轴交点(0，±2)即为椭圆的上下两顶点，所以c＝2，b＝2.从而a＝2， 因此椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋m. 由，消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－， x1x2＝. 直线AM的斜率k1＝＝k＋；直线AN的斜率k2＝＝k＋. k1＋k2＝2k＋＝2k＋＝.由∠MAN的平分线在y轴上，得k1＋k2＝0.即＝0， 又因为|AM|≠|AN|，所以k≠0，所以m＝1. 因此，直线MN过定点(0,1)． 考点二　定值问题(师生共研) [典例]　(理科)(2020·山东卷，22)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． [解]　(1)因为e2＝1－＝，所以a2＝2b2， 又＋＝1，所以a2＝6，b2＝3， 故C的方程为＋＝1. (2)①若直线MN斜率不存在，设方程为x＝x0，则M(x0，y0)，N(x0，－y0)， 因为⊥，所以(x0－2，y0－1)·(x0－2，－y0－1)＝0，即(x0－2)2＋(1－y)＝0， 又y＝3－，所以x0＝，或x0＝2(舍)，此时直线方程为x＝. ②若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由，消去y得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝48k2－8m2＋24>0，解得6k2－m2＋3>0， 且x1＋x2＝，x1x2＝， 所以＝(x1－2，y1－1)，＝(x2－2，y2－1)， ·＝0⇒(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， 所以3m2＋8km－2m＋4k2－1＝0， 即(3m＋2k＋1)(m＋2k－1)＝0， 所以m＝－k－或m＝1－2k(此时直线MN过A点，舍去)， 所以直线MN方程为：y＝kx－k－ ＝k－， 即直线MN过定点P； 斜率不存在时，x＝亦过点P. 又因为AD⊥MN，D为垂足，所以△ADP为直角三角形，∠D为直角， 所以当点Q为斜边AP的中点时，|DQ|为定值＝. 综上可知：