第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【创新教程】2024高考文科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 1.直线与圆的位置关系判定，达成数学建模和数学抽象的素养． 2．直线与圆相交、相切问题的研究，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养． 3．圆与圆的位置关系的判定，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养. 　　本部分作为2024年高考的重点内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查．题型以选择题、填空题为主，有时也以解答题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，解答时要正确利用图形及性质，合理转化. [要点梳理] 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 　 　方法 位置关系　　　 几何法 代数法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 1．两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 2．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数 (1)两圆外离时，有4条公切线； (2)两圆外切时，有3条公切线； (3)两圆相交时，有2条公切线； (4)两圆内切时，有1条公切线； (5)两圆内含时，没有公切线． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　 ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　 ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　 ) (4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　 ) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　 ) 解析：(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件． (2)除外切外，还有可能内切． (3)两圆还可能内切或内含． 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[教材改编] 1．[必修2P130练习改编]圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　 ) A．内切　　B．相交　　C．外切　　D．相离 解析：B　[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝. ∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．] 2．[必修2P133A组T9改编]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为　________　. 解析：由 得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0. 又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2. 答案：2 ◆[小题纠偏] 1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　 ) A．[－3，－1]　　　　 B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：C　[由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为， ∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.] 2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：B　[⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2. ⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2.∴|C1C2|＝，∴|r1－r2|＝0＜|C1C2|＜r1＋r2＝4，∴两圆相交，有两条公切线．故选B.