专题13 几何中的折叠与旋转问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（江苏专用）

专题13 几何中的折叠与旋转问题 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 平移变换问题 【题型二】 折叠问题问题 【题型三】 旋转变换问题 二、最新模考题组练 【题型一】 平移变换问题 【典例分析】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y3． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标； (3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)yx2+x+3 (2)点E的坐标为(3,) (3)存在，点N的坐标为(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2) 【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式； （2）根据四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线，使该方程判别式为0即可求得E的坐标； （3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线BC的解析式为y3， ∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3， ∴点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3)； ∵A(﹣2,0)， ∴代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：yx2+x+3． （2）解：∵ADBC， ∴设直线AD的表达式为：yx+m， 将A(﹣2，0)代入直线AD即可求得：m＝﹣1， ∴直线AD：yx﹣1， 设过点E与直线BC平行的直线：yx+n， ∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点， ∴令yx+nx2+x+3， 化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①， 由Δ＝36﹣4(4n﹣12)＝0得：n， ∴方程①的解为：x1＝x2＝3， ∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为(3,)． （3）解：存在，理由： ①当AE是平行四边形的对角线时， ∵y(x+2)2+(x+2)+3x2+4， ∴新抛物线的表达式为：yx2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝2， ∵点A、E的坐标分别为(﹣2,0)、(3,)， ∴AE中点的坐标为(,)， 设点M(2,t)，点N(s,t2+4)， 则由中点公式得：，， 解得：s＝﹣2，t＝2(负值舍去)， ∴N(﹣2,2)； ②当AE是平行四边形的边时， 设M(2,t')，点N(s',t'2+4)， 则s'﹣2＝5，解得s'＝7，N(7,﹣2)， s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N(﹣3,﹣2)， 综上，点N的坐标为：(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中(3)问要注意分类求解，避免遗漏． 【提分秘籍】 基本规律 1.平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； 2.图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据； 3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据． 4．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等。 【变式演练】 1．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值； （3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）与之间的数量关系为． 【分析】（1）根据非负数的性质和解二元一次方程组求解即可； （2）设，先根据平移的性质可得，过D作轴于P，再根据三角形ADP的面积得出，从而可得，然后根据线段的和差可得，由此即可得出答案； （3）设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，K