专题12 四边形存在性问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（江苏专用）

专题12 四边形存在性问题 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 平行四边形的存在性问题 【题型二】 菱形的存在性问题 【题型三】 矩形的存在性问题 二、最新模考题组练 【题型一】 平行四边形的存在性问题 【典例分析】 如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 基本规律 1.动态几何中，设出未知数x，用x表示出四边形各边的长度，利用平行四边形的判定两组对边分别相等或者对角线互相平分，分类讨论，列出方程，解方程即可。 2.函数中，做已知边的平行线，构造平行四边形，设出平行四边形某一顶点的横坐标，利用函数解析式，表示出其纵坐标，再利用坐标性质表示出其他各顶点的坐标，然后利用勾股定理或两点距离公式表示出各边长度，利用平行四边形的判定两组对边分别相等或者对角线互相平分分类讨论列出方程，解方程即可。 【变式演练】 1．如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为P，求四边形的面积； (3)如图2，点M从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点N从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． ①当是直角三角形时，求t的值； ②在M、N运动的过程中，抛物线上存在点Q，使四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 2．如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二】 菱形的存在性问题 【典例分析】 如图，抛物线经过坐标原点O及点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标； (3)是否存在x轴上一动点H和平面内相应点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点H和相应点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 基本规律 函数中，做已知边的平行线，构造平行四边形，设出平行四边形某一顶点的横坐标，利用函数解析式，表示出其纵坐标，再利用坐标性质表示出其他各顶点的坐标，然后利用勾股定理或两点距离公式表示出各边长度，利用平行四边形一组邻边相等分类讨论列出方程，解方程即可。 【变式演练】 1．如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且，若点D是直线（不与B，C重合）上一动点，过点D作x轴的垂线交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)连接，，当点D的横坐标为时，求证：． (3)如图（2），若点F是y轴上的动点，是否存在点F，使以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿所在直线翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的面积． 【题型三】 矩形的存在性问题 【典例分析】 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和对称轴． (2)若R为第一象限内抛物线上点，满足，求R的坐标． (3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【提分秘籍】 基本规律 函数中，做已知边的平行线，构造平行四边形，设出平行四边形某一顶点的横坐标，利用函数解析式，表示出其纵坐标，再利用坐标性质表示出其他各顶点的坐标，然后利用勾股定理或两点距离公式表示出各边长度，利用平行四边形对角线相等分类讨