专题11 三角形存在性问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（江苏专用）

专题11 三角形存在性问题 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 等腰三角形的存在性问题 【题型二】 直角三角形的存在性问题 【题型三】 相似三角形的存在性问题 二、最新模考题组练 【题型一】 等腰三角形的存在性问题 【典例分析】 已知二次函数经过点，，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 基本规律 1.动态几何中，设出未知数x，用x表示出三角形各边的长度，根据等腰三角形的概念，分类讨论，令三角形的各边两两相等，列出方程，解方程即可。 2.函数中，设出三角形某一顶点的横坐标，利用函数解析式，表示出其纵坐标，再利用坐标性质表示出其他各顶点的坐标，然后利用勾股定理或两点距离公式表示出三角形各边长度，利用等腰三角形的概念分类讨论，令各边两两相等，列出方程，解方程即可。 【变式演练】 1．已知抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线于点D，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型二】 直角三角形的存在性问题 【典例分析】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 基本规律 1.动态几何中，设出未知数x，用x表示出三角形各边的长度，根据勾股定理的逆定理，分类讨论，列出方程，解方程即可。 2.函数中，设出三角形某一顶点的横坐标，利用函数解析式，表示出其纵坐标，再利用坐标性质表示出其他各顶点的坐标，然后利用勾股定理或两点距离公式表示出三角形各边长度，根据勾股定理的逆定理分类讨论，列出方程，解方程即可。 【变式演练】 1．如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上的点F处，延长交的延长线于点G． (1)求线段的长； (2)求证四边形为菱形； (3)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 2．如图①，已知抛物线的图象经过点，．过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，连结． 　 　 (1)求抛物线的关系式并写出点的坐标； (2)若动点在轴下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求出此时点横坐标； (3)若将抛物线向上平移个单位，且其顶点始终落在的内部或边上，写出的取值范围； (4)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型三】 相似三角形的存在性问题 【典例分析】 如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线． (1)求该二次函数表达式； (2)在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 基本规律 1.动态几何中，设出未知数x，用x表示出三角形各边的长度，根据相似三角形的判定定理，分类讨论，列出方程，解方程即可。 2.函数中，设出三角形某一顶点的横坐标，利用函数解析式，表示出其纵坐标，再利用坐标性质表示出其他各顶点的坐标，然后利用勾股定理或两点距离公式表示出三角形各边长度，根据相似三角形的判定定理分类讨论，列出方程，解方程即可。 【变式演练】 1．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点