第十章 第3节 二项式定理-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理)第3节　二项式定理 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项展开式中特定项或系数问题，达成直观想象和数学运算的素养． 2．二项式系数及项的系数问题，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．多项式展开式中的特定项或系数问题，提升逻辑推理和数学运算的素养. 　　预计2024年的高考将从以下四个方面进行考查： 1．二项展开式中特定项或系数． 2．二项式展开式系数最大项． 3．二项式系数与二项式系数和的计算． 4．二项式与其他知识的结合．一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属基础题型. [要点梳理] 1．二项式定理 (1)二项式定理：　(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)　； (2)通项公式：Tr＋1＝　Can－rbr　，它表示第　r＋1　项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即　C＝C　 增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是　递增　的 当k＞(n∈N*)时，是　递减　的 二项式系 数最大值 当n为偶数时，中间的一项　n　取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝　2n　. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝　2n－1　. 　二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，…一直到C，C. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　 ) (2)通项Can－kbk中的a和b不能互换．(　　 ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　 ) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　 ) (5)C－2C＋3C－…＋(－1)n－1nC＝0.(　　 ) (6)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ (6)√ ◆[教材改编] 1．(P31例2(2))若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　 ) A．10　　　B．20　　　C．30　　　D．120 解析：B　[二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.] 2．(P41B组T5)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：B　[令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.] ◆[小题纠偏] 1.5的展开式中的x4系数为(　　 ) A．10 B．20 C．40 D．80 解析：C　[Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.] 2．(2022·北京卷，8)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②得原式＝41.] 3．(2020·全国Ⅲ卷)6的展开式中常数项是　________　(用数字作答)． 解析：因为Tr＋1＝Cx2(6－r)2rx－r＝2rCx12－3r，由12－3r＝0得r＝4，所以常数项为240. 答案：240 考点一　求二项展开式中的特定项或特定项的系数(多维探究) ●[角度1]　求展开式中的某一项　 [典例1]　(2021·北京卷，11)4的展开式中常数项为　________　. [解析]　4展开式的通项为Tr＋1＝ C(x3)4－rr＝(－1)rCx12－4r 令12－4r＝0，∴r＝3，所以常数项为 T4＝(－1)3C＝－4. [答案]　－4 (1)求展开式中的第n项，可依据二项展开式的通项直接求出第n项． (2)求展开式中的特定项，可依据